Question

19．同一水平面上的两根正对平行金属直轨道MN，M′N′，如图所示放置，两轨道之间的距离l=0.5m，两轨道之间距离l=0.5m．轨道的MN′端之间接一阻值R=0.4Ω的定值电阻，轨道的电阻可忽略不计，MN′端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP，N′P′平滑连接，两半圆轨道的半径均为R₀=0.5m，水平直轨道MR，M′R′段粗糙，RN，R′N′段光滑，且RNN′R′区域恰好处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度R=0.64T，磁场区域的宽度d=1m，且其右边界与NN′重合，现有一质量m=0.2kg，电阻r=0.1Ω的导体杆ab静止在距磁场左边界S=0.2kg，电阻r=0.1Ω的导体杆ab静止在距磁场左边界S=2m处，在与杆垂直的水平恒力F=2N作用下开始运动，导体杆ab与粗糙导轨间的动摩擦因数μ=0.1，当运动至磁场的左边界时撤去F，结果导体杆ab恰好能通过半圆形轨道的最高点PP′．已知导体杆在运动过程中与轨道始终垂直且接触良好，取g=10m/s²．
（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小法方向．
（2）导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量
（3）导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）应用动能定理求出进入磁场时的速度，导体棒进入磁场时金属杆切割磁感线，产生感应电流．由法拉第定律和欧姆定律可求得感应电流大小．
（2）设导体杆在磁场中运动的时间为t，求出产生的感应电动势的平均值，根据欧姆定律求出电流的平均值，进而求出电量．
（3）回路中机械能转化为内能，根据能量守恒定律求出电路中产生的焦耳热．

解答 解：（1）设导体杆在F的作用下运动至磁场的左边界时的速度为v₁，由动能定理得：
（F-μmg）s=$\frac{1}{2}$mv₁²-0，
代入数据解得：v₁=6m/s，
导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势为：E=Blv₁=1.92V，
此时通过导体杆上的电流为：I=$\frac{E}{R+r}$=3.84A，
根据右手定则可知，电流方向由b向a；
（2）设导体杆在磁场中运动的时间为t，产生的感应电动势的平均值为E_平均，则由法拉第电磁感应定律有：
$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{Bld}{t}$，
通过电阻R的感应电流的平均值：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$，
通过电阻R的电荷量：q=It=$\frac{Bld}{R+r}$=0.64C；
（3）设导体杆离开磁场时的速度大小为v₂，运动到圆轨道最高点的速度为v₃，因导体杆恰好能通过半圆形轨道的最高点，则在轨道最高点时，由牛顿第二定律得：
mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{{R}_{0}}$，
代入数据解得：v₃=$\sqrt{5}$m/s，
杆从NN′运动至PP′的过程，根据机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}$mv₂²=$\frac{1}{2}$mv₃²+mg•2R₀，
代入数据解得：v₂=5m/s，
导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能为：△E=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²=1.1J，
此过程中电路中产生的焦耳热为：Q_热=△E=1.1J；
答：（1）导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小为3.84A，方向：从b到a．
（2）导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R上的电荷量为0.64C；
（3）导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热为1.1J．

点评 本题综合考查了机械能守恒定律、动能定理、牛顿第二定律、闭合电路欧姆定律、切割产生的感应电动势公式等，综合性较强，对学生的能力要求较高，需加强这方面的训练；分析导体杆的运动过程是解题的关键．