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如图所示,空气中有一折射率为
2
的玻璃柱体,其横截面是圆心角为90°、半径为R的扇形OAB.一束平行光平行于横截面,以45°入射角照射到OA上,OB不透光.若只考虑首次入射到圆弧
.
AB
上的光,则
.
AB
上有光透出部分的弧长为
π
R
4
π
R
4
分析:注意两条特殊光线,一是从O点沿半径方向进入玻璃柱体的光线,在AO面上折射后传播入方向不变,二是在AB面上发生全反射的光线,有光透出的部分在这两条光线之间,然后根据几何关系求解.
解答:解:根据折射定律有:
sin45°
sinr
=
2
,可得光进入玻璃后光线与竖直方向的夹角为30°.
过O的光线垂直入射到AB界面上点C射出,C到B之间没有光线射出;越接近A的光线入射到AB界面上时的入射角越大,发生全反射的可能性越大.
根据临界角公式:sinC=
1
2
,得临界角为45°,如果AB界面上的临界点为D,此光线在AO界面上点E入射,在三角形ODE中可求得OD与水平方向的夹角为180°-(120°+45°)=15°,所以A到D之间没有光线射出.由此可得没有光线射出的圆弧对应圆心角为90°-(30°+15°)=45°
所以有光透出的部分的弧长为
1
4
πR

故答案为:
1
4
πR

点评:解决本题的关键根据光的折射、全反射原理在AB弧面上找到有光线透出的范围,然后依据几何关系求解.
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r
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3
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2
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3
B、n可能为1.2
C、t可能为
2
2
r
c
D、t可能为
4.8r
c

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