Question

有一倾角为θ的斜面，其底端固定一档板，另有三个木块A、B、C，它们的质量分别为m_A=m_B=m，m_C=3m，它们与斜面间的动摩擦因数都相同．其中木块A和一轻弹簧连接，放于斜面上，并通过轻弹簧与档板M相连，如图所示．开始时，木块A静止在P点弹簧处于原长，木块B在Q点以初速度U₀沿斜面向下运动，P、Q间的距离为l，已知木块B在下滑过程中做匀速直线运动，与木块A碰撞后立刻一起沿斜面向下运动，但不粘连，它们到达一个最低点后向上运动，木块B向上运动恰好能回到Q点．现将木块C从Q点以初速度

3

2

v₀沿斜面向下运动，木块A仍静止于P点，经历同样的过程，最后木块C停在斜面上的R点（图中未画出）．求：
（1）A、B一起开始压缩弹簧时速度u₁；
（2）A、B压缩弹簧的最大长度；
（3）P、R间的距离l’的大小．

Answer 1

分析：（1）A、B系统在碰撞过程，系统动量守恒，根据动量守恒定律求出A、B一起压缩弹簧时的速度．
（2）对两木块从开始压缩弹簧到弹簧恢复原长的过程运用动能定理，克服摩擦力做功的路程等于最大长度的2倍，再对木块B从P到Q运用动能定理，联立解出弹簧压缩的最大长度．
（3）运用动量守恒定律求出木块C与A碰撞后的速度，得出木块B和A压缩弹簧时的初动能与木块C与A压缩弹簧时的初动能相等，根据能量守恒知，弹簧最大的压缩量大小相等，分别对木块C与A从压缩弹簧返回弹簧恢复原长的过程运用动能定理，以及对木块C从P点到R点的过程运用动能定理，联立解出PR间的距离．

解答：解：（1）木块B下滑做匀速运动，有：mgsin_θ=μmgcosθ
B和A碰撞后，设速度为v₁，根据动量守恒定律得：mv₀=2mv₁
解得：v1=

v0

2

（2）设两木块向下压缩弹簧的最大长度为x，两木块被弹簧弹回到P点时的速度为v₂，根据动能定理得：-μ2mgcosθ2x=

1

2

2m

v

2 2

-

1

2

2m

v

2 1

两木块在P点处分开后，木块B上滑到Q点的过程中，根据动能定理得：-(mgsinθ+μmgcosθ)l=0-

1

2

m

v

2 2

解得：x=

v 2 0

16gsinθ

-l
（3）木块C与A碰撞后速度为v₁′，根据动量守恒定律得：3m

2

3

v0=4mv1′
解得：v1′=

2

4

v0
设木块C与A压缩的最大长度为x′，两木块被弹簧弹回到P点时的速度为v₂′，根据动能定理得：-μ4mgcosθ?2x′=

1

2

4mv2′2-

1

2

4mv1′2  
木块C与A在P点处分开后，木块C上滑到R的过程中，根据动能定理得：
-（3mgsinθ+μ3mgcosθ）l′=0-

1

2

3mv2′2
在木块压缩弹簧的过程中，重力对木块所做的功与摩擦力对木块所做的功大小相等，因此，木块B和A压缩弹簧的初动能：
Ek1=

1

2

2mv12=

1

4

mv02
木块C与A压缩弹簧的初动能为：Ek2=

1

2

4mv1′2=

1

4

mv02
即：E_k1=E_k2
因此，弹簧先后两次的最大压缩量相等，即x=x′，综上可得：l′=l-

v02

32gsinθ

．
答：（1）A、B一起开始压缩弹簧时速度为

v0

2

．
（2）A、B压缩弹簧的最大长度x=

v 2 0

16gsinθ

-l．
（3）P、R间的距离l′=l-

v02

32gsinθ

．

点评：解决本题的关键理清物体的运动过程，合理地选择研究对象和研究的过程，结合动量守恒定律和动能定理进行求解．