Question

【题目】如图所示，AB是倾角θ=45°的倾斜轨道，BC是一个水平轨道（物体经过B处时无机械能损失），AO是一竖直线，O、B、C在同一水平面上，竖直平面内的光滑圆形轨道最低点与水平面相切与C点，已知A、O两点间的距离h=1m，B、C两点间的距离d=2.0m，圆形轨道的半径R=1m。一质量m=2kg的小物体，从与O点水平距离x0=3.6m的P点水平抛出，恰好从A点以平行斜面的速度进入倾斜轨道，最后进入圆形轨道。小物件与倾斜轨道AB、水平轨道BC之问的动摩擦因数都是μ=0.5，g取10m/s2）。

(1)求小物体从P点抛出时的速度v0和P点的高度H；

(2)求小物体运动到圆形轨道最高点D时，对圆形轨道的压力；

(3) 若小物体从Q点水平抛出，恰好从A点以平行斜面的速度进入倾斜轨道，最后进入圆形轨道，且小物体不能脱离轨道，求Q、O两点的水平距离x的取值范围。

Answer 1

【答案】(1)6m/s，2.8m；(2)N=24N；(3)0.5m＜x≤15m或x≥3m

【解析】

(1)小物体从P到A做平抛运动，由题知，物体经过A点时速度平行于斜面向下，设物体经过A点时竖直分速度大小为vy，如图所示

则有

vy＝v0tan45°＝v0，

又

可得

，

水平距离

联立解得

v0＝6m/s，H＝2.8m

(2)物体从P到D的过程，由动能定理得：

在D点，由牛顿第二定律得

联立解得

N＝24N

由牛顿第三定律知，物体对圆形轨道的压力大小为24N。

(3)要保证小物体不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：第一种情况，能通过最高点D，第二种情况，所能到达的最高点小于等于圆心的高度。

第一种情况，小球能通过最高点D时，设O、Q的水平距离为x1，恰好通过圆形轨道的最高点D。小物体从Q点水平抛出后，恰好从A点以平行于斜面的速度进入倾斜轨道时，根据第1问可得小物体到达A点的速度

恰好通过圆形轨道的最高点D时，只有重力充当向心力，得

由动能定理得

代入数据解得

x1＝3m

小物体能通过最高点D，所以O、Q的水平距离

x≥x1＝3m

第二种情况，所能到达的高度小于等于圆心的高度时，设O、Q的水平距离为x2，恰好到达圆心高度。小物体从Q点水平抛出后，恰好从A点以平行于斜面的速度进入倾斜轨道时，根据第1问可得小物体到达A点的速度

恰好到达圆心的高度时，末速度为0，由动能定理得

代入数据解得

x2＝1.5m

设O、Q的水平距离为x3时，恰好到达圆形轨道处，小物体从Q点水平抛出后，恰好从A以平行于斜面的速度进入倾斜轨道时，根据第1问可得小物体到达A点的速度

恰好到达圆形轨道时，到C点的速度为0。由动能定理得

代入数据解得

x3＝0.5m

小物体能进入圆形轨道，不脱离，O、Q的水平距离应满足：

0.5m<x≤1.5m

综上所述，若小物体从Q点水平抛出，恰好从A点以平行斜面的速度进入倾斜轨道，最后进入圆形轨道，且小物体不能脱离轨道，Q、O两点的水平距离x的取值范围为

0.5m<x≤1.5m或x≥3m