Question

如图所示，轻杆一端固定着小球A，另一端可绕0点自由转动；矩形厚木板B放在粗糖的水平地面上，B上表面的最右端有一光滑小物块C；A在最低点时刚好与B左侧接触．轻杆与水平成30°角时，给A以大小为v₀=

3gL

、方向垂直于杆的初速度，A到达最低点时与B发生正碰后静止．已知g为重力加速度，L为杆长；A、C可视为质点，质量均为m；B的质量为2m、长度也为L；B与地面的动摩擦因数μ=0.4，其余摩擦不计．
（1）求A到达最低点与B碰撞前，A受到杆的作用力大小；
（2）讨论木板高度h取不同值时，C落地瞬间与B左侧的水平距离．

Answer 1

（1）A在下落过程中，由动能定理得：
mg（L+Lsin30°）=

1

2

mv²-

1

2

mv₀² ①，
在最低点，由牛顿第二定律得：F-mg=m

v2

L

，
解得：F=7mg，则在最低点，杆对A的作用力大小为7mg，方向竖直向上．
（2）A与B碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律得：mv=2mv′②，由①②v′=

6gL

2

；
碰后B做向右左匀减速直线运动，C静止不动，设B静止时的位移为s，
对B由动能定理得：-μ（2m+m）gs=0-

1

2

×2mv′²，
解得：s=1.25L；
设C刚离开B时的速度为v₁，由动能定理得：：-μ（2m+m）gL=

1

2

×2mv₁²-

1

2

×2mv′²，
解得：v₁=

0.3gL

，从C离开B到B静止需要的时间t=

v1

a

=

0.3gL

μg

=

15L 8g

；
C离开B后做自由落体运动，h=

1

2

gt′²，t′=

2h g

，
①当t′≥t，即h≥

15

16

L时，C落地瞬间与B左侧的水平距离x=s-L=0.25L；
②当t′＜t，即h＜

15

16

L时，C落地瞬间与B左侧的水平距离：
x=v₁t′-

1

2

at′²=

0.3gL

×

2h g

-

1

2

×μg×

2h

g

=

0.6hL

-0.4h．
答：（1）A到达最低点与B碰撞前，A受到杆的作用力为7mg．
（2）①当h≥

15

16

L时，C落地瞬间与B左侧的水平距离x=s-L=0.25L；
②当h＜

15

16

L时，C落地瞬间与B左侧的水平距离为x=

0.6hL

-0.4h．