Question

（2011?黄山模拟）如图所示，竖直固定放置的粗糙斜面AB的下端与光滑的圆弧BCD的B点相切，圆弧轨道的半径为R，圆心O与A、D在同一水平面上，∠COB=θ，现有质量为m的小物体从距D点为

Rcosθ

4

的地方无初速的释放，已知物体恰能从D点进入圆轨道．求：
（1）为使小物体不会从A点冲出斜面，小物体与斜面间的动摩擦因数至少为多少？
（2）若小物体与斜面间的动摩擦因数μ=

sinθ

2cosθ

，则小物体在斜面上通过的总路程大小？
（3）小物体通过圆弧轨道最低点C时，对C的最大压力和最小压力各是多少？

Answer 1

分析：（1）要物体不从A点冲出斜面则物体到达A点时速度为0，根据动能定理可以求出物体从B到C的过程中摩擦力所做的功，故需要根据几何关系求出AB的高度差为Rcosθ，斜面AB的倾角为θ，可知AB之间的距离为

Rcosθ

sinθ

．
（2）由于物体不能从A点冲出，故会向B滑动，然后从CD滑会B点，最后只能滑到B点而不能继续向A点运动，即只能做以B为最高点的往复运动，即确定了物体运动过程中速度为0的末位置，根据摩擦力做功的特点（摩擦力做功与路程有关）利用动能定理即可求出物体通过的路程．
（3）小物体第一次通过C点时的速度最大，对C的压力最大；当小物体到B点速度为0时，经过C点的速度最小，对轨道的压力最小．

解答：解：（1）为使小物体不会从A点冲出斜面，由动能定理得mg

Rcosθ

4

-μmgcosθ

Rcosθ

sinθ

=0
解得动摩擦因数至少为：μ=

sinθ

4cosθ

（2）分析运动过程可得，最终小物体将从B点开始做往复的运动，由动能定理得
mg（

Rcosθ

4

+Rcosθ）-μmgScosθ=0
解得小物体在斜面上通过的总路程为：S=

5Rcosθ

2sinθ

（3）由于小物体第一次通过最低点时速度最大，此时压力最大，由动能定理，得
mg（

Rcosθ

4

+R）=

1

2

mv²
由牛顿第二定律，得
N_max-mg=m

v2

R

解得N_max=3mg+

1

2

mgcosθ
最终小物体将从B点开始做往复的运动，则有
mgR（1-cosθ）=

1

2

mv^′2
N_min-mg=m

v′2

R

联立以上两式解得N_min=mg（3-2cosθ）
由牛顿第三定律，得小物体通过圆弧轨道最低点C时对C的最大压力
Nmax′=3mg+

1

2

mgcosθ，
最小压力Nmin′=mg（3-2cosθ）．

点评：把握重力、电场力、摩擦力做功的特点，找准物体的初末速度，灵活利用动能定理解题是此类题目的通用解法．