Question

8．如图所示，开有小孔的平行板水平放置，两极板接在电压大小可调的电源上，用喷雾器将油滴喷注在小孔上方．已知两极板间距为d，油滴密度为ρ，电子电量为e，重力加速度为g，油滴视为球体，油滴运动时所受空气的粘滞阻力大小F_f=6πηrv（r为油滴半径、η为粘滞系数，且均为已知），油滴所带电量是电子电量的整数倍，喷出的油滴均相同，不考虑油滴间的相互作用．
（1）当电压调到U时，可以使带电的油滴在板间悬浮；当电压调到$\frac{U}{2}$时，油滴能在板间以速度v匀速竖直下行．求油滴所带电子的个数n及油滴匀速下行的速度v；
（2）当油滴进入小孔时与另一油滴粘连在一起形成一个大油滴，以速度v₁（已知）竖直向下进入小孔，为防止碰到下极板，需调整电压，使其减速运行，若将电压调到2U，大油滴运动到下极板处刚好速度为零，求：大油滴运动到下极板处时的加速度及这一过程粘滞阻力对大油滴所做的功．

Answer 1

分析 （1）当电压调到U时，油滴在板间悬浮，根据电场力与重力平衡列式；当电压调到$\frac{U}{2}$时，油滴能在板间以速度v匀速竖直下行，则电场力与阻力之和，跟重力平衡，再结合质量表达式，即可求解；
（2）将电压调到2U，大油滴匀减速下行，根据牛顿第二定律求加速度，由动能定理，即可求解粘滞阻力对大油滴所做的功．

解答 解：（1）当电压调到U时，油滴在板间悬浮，根据电场力与重力平衡，则有：
   q$\frac{U}{d}$=mg-----①； 
当电压调到$\frac{U}{2}$时，油滴能在板间以速度v匀速竖直下行，则有
 q$\frac{\frac{U}{2}}{d}$+6πηrv=mg-----②； 
且m=$\frac{4}{3}$πρr3-----③
联立①②③得：n=$\frac{q}{e}$=$\frac{4πρgd{r}^{3}}{3eU}$，及 v=$\frac{gρ{r}^{3}}{9η}$
（2）将电压调到2U时
（ⅰ）根据牛顿第二定律，则有：2q$\frac{2U}{d}$-2mg=2ma----④
联立①④得：a=g，竖直向上
（ⅱ）根据动能定理，则有：2mgd-2q•2U+W_f=0-$\frac{1}{2}$×2m${v}_{1}^{2}$------⑤
联立①③⑤得：W_f=$\frac{4}{3}$πρgdr³-$\frac{4}{3}$πρ${v}_{1}^{2}$r³=$\frac{4}{3}$πρr³（2gd-${v}_{1}^{2}$）
答：
（1）油滴所带电子的个数是$\frac{4πρgd{r}^{3}}{3eU}$，油滴匀速下行的速度是$\frac{gρ{r}^{3}}{9η}$；
（2）大油滴运动到下极板处时的加速度大小g，方向竖直向上，这一过程粘滞阻力对大油滴所做的功是$\frac{4}{3}$πρr³（2gd-${v}_{1}^{2}$）．

点评 解决本题的关键要明确油滴的运送状态，来分析其受力情况，运用平衡条件、牛顿第二定律与动能定理等力学规律研究．要注意力做功的正负，及当心符号的运算正确性．