Question

18．如图所示，光滑杆AB长为L，B端固定一根劲度系数为k、原长为l₀的轻弹簧，质量为m的小球套在光滑杆上并与弹簧的上端连接．OO′为过B点的竖直轴，杆与水平面间的夹角始终为θ．
（1）杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，求小球释放瞬间的加速度大小a
（2）杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，求小球速度最大时弹簧的压缩量△l₁；
（3）当球随杆一起绕OO′轴匀速转动时，弹簧伸长量为△l₂，求匀速转动的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）（2）小球从弹簧的原长位置静止释放时，根据牛顿第二定律求解加速度，小球速度最大时其加速度为零，根据合力为零和胡克定律求解△l₁；
（3）设弹簧伸长△l₂时，对小球受力分析，根据向心力公式列式求解．

解答 解：（1）小球从弹簧的原长位置静止释放时，根据牛顿第二定律有mgsinθ=ma解得a=gsinθ
（2）小球速度最大时其加速度为零，则k△l₁=mgsinθ解得$△{l_1}=\frac{mgsinθ}{k}$
（3）设弹簧伸长△l₂时，球受力如图所示，水平方向上有${F_N}sinθ+k△{l_2}cosθ=m{ω^2}（{l_0}+△{l_2}）cosθ$
竖直方向上有F_Ncosθ-k△l₂sinθ-mg=0
解得$ω=\sqrt{\frac{{mgsinθ+k△{l_2}}}{{m（{l_0}+△{l_2}）{{cos}^2}θ}}}$
答：（1）杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，小球释放瞬间的加速度大小a为gsinθ
（2）杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置静止释放，小球速度最大时弹簧的压缩量△l₁为$\frac{mgsinθ}{k}$
（3）当球随杆一起绕OO′轴匀速转动时，弹簧伸长量为△l₂，匀速转动的角速度ω为$\sqrt{\frac{mgsinθ+k△{l}_{2}}{m（{l}_{0}+△{l}_{2}）co{s}^{2}θ}}$

点评 本题考查了牛顿第二定律、胡克定律与圆周运动的综合，要明确小球做匀速转动时，靠合力提供向心力，由静止释放时，加速度为零时速度最大