Question

一轻质细绳一端系一质量为m=0.05kg的小球A，另一端挂在光滑水平轴O上，O到小球的距离为L=0.1m，小球跟水平面接触，但无相互作用，在球的两侧等距离处分别固定一个光滑的斜面和一个挡板，如图所示，水平距离s=2m．现有一滑块B，质量也为m，从斜面上滑下，与小球发生碰撞，每次碰后，滑块与小球速度均交换，已知滑块与挡板碰撞时不损失机械能，水平面与滑块间的动摩擦因数为μ=0.25，若不计空气阻力，并将滑块和小球都视为质点，g取10m/s²，试问：
（1）若滑块B从斜面某一高度h处滑下与小球第一次碰撞后，使小球恰好在竖直平面内做圆周运动，求此高度h；
（2）若滑块B从h′=5m 处下滑与小球碰撞后，小球在竖直平面内做圆周运动，求小球做完整圆周运动的次数．

Answer 1

解：
（1）小球刚能完成一次完整的圆周运动，它到最高点的速度为v₀，在最高点，仅有重力充当向心力，则有
mg=m--------①
在小球从最低点运动到最高点的过程中，机械能守恒，并设小球在最低点速度为v，则又有
mV₁²=mg?2L+mV₀²-------------②
由①②解得：V₁=m/s
滑块从h高处运动到将与小球碰撞时速度为v₂，对滑块由能的转化及守恒定律有mgh=μmg?+mV₂²，
因弹性碰撞后速度交换V₂=m/s，解上式得 h=0.5m．
（2）若滑块从h′=5m处下滑到将要与小球碰撞时速度为u，同理有
mgh′=μmg?+mu²-----------------③
解得 u= m/s，
滑块与小球碰后的瞬间，同理滑块静止，小球以 u= m/s 的速度开始作圆周运动，
滑块和小球最后一次碰撞时速度至少为V=m/s，
滑块最后停在水平面上，它通过的路程为 s′，同理有
mgh′=μmg?s′+mV²--------------④
小球做完整圆周运动的次数为 n=+1-------------⑤
解④、⑤得s′=19m，n=10次．
答：（1）高度为0.5m，
（2）小球做完整圆周运动的次数为10次．
分析：（1）小球恰好在竖直平面内做圆周运动，说明此时只有重力作为向心力，再根据小球做圆周运动的过程中机械能守恒，列出方程可以求得滑块的高度；
（2）每次碰撞没有能量损失，只是在水平面上运动时克服摩擦力做功，小球的速度也是一次次的减小，最小的时候应该是恰好能做圆周运动，根据动能定理可以求得总的路程和碰撞的次数．
点评：题目中物体的运动过程好像是挺复杂，但是每次碰撞只是由于克服摩擦力做功而减小了能量，当减到最小时小球应该恰好能做圆周运动，找到能量损失的原因，利用动能定理就可以求出了，本题很好的考查了学生的分析理解能力，是道好题．