Question

12．如图所示，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点．有无数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以相同的速率通过P点进入磁场．这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段圆弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的$\frac{1}{3}$．将磁感应强度的大小从原来的B₁变为B₂，结果相应的弧长变为原来的一半，则$\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}$等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 画出导电粒子的运动轨迹，找出临界条件角度关系，利用圆周运动由洛仑兹力充当向心力，分别表示出圆周运动的半径，进行比较即可．

解答 解：设圆的半径为r
（1）磁感应强度为B₁时，从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为M，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，∠POM=120°，如图所示：

所以粒子做圆周运动的半径R为：sin60°=$\frac{R}{r}$，解得：R=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r．
磁感应强度为B₂时，相应的弧长变为原来的一半，即弧长为圆的周长的$\frac{1}{6}$，
从P点射入的粒子与磁场边界的最远交点为N，最远的点是轨迹上直径与磁场边界圆的交点，∠PON=60°，如图所示：

所以粒子做圆周运动的半径R′为：sin30°=$\frac{R′}{r}$，解得：R′=$\frac{1}{2}$r，
由带电粒子做圆周运动的半径：R=$\frac{mv}{qB}$，由于v、m、q相等，
则得：$\frac{{B}_{2}}{{B}_{1}}$=$\frac{R}{R′}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}r}{\frac{1}{2}r}$=$\sqrt{3}$；
故选：B．

点评 带电粒子在电磁场中的运动一般有直线运动、圆周运动和一般的曲线运动；直线运动一般由动力学公式求解，圆周运动由洛仑兹力充当向心力，一般的曲线运动一般由动能定理求解．