Question

如图所示，在坐标系xOy内有一半径为R的圆形匀强磁场区域，圆心O₁坐标为（0，
R），磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外．在虚线x=R的右侧区域内，有一场强大小为E，沿x轴负方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子，以速度v从O点垂直于磁场方向射入圆形磁场区域，不计粒子重力．
（1）若速度v方向沿y轴正方向时，粒子恰好从坐标为（R，R）的A点射出磁场，求粒子射入磁场时速度v的大小；
（2）若粒子仍以速度v沿与y轴正方向夹角θ=30°方向从O点射入第二象限（如图所示），求粒子第一次离开磁场时速度方向及出射点P（图中未画出）到y轴的距离x_P；
（3）求在（2）问中粒子从射入磁场到最终离开磁场所通过的路程s．

Answer 1

分析：（1）粒子正对磁场圆心射入，则粒子射出磁场时速度反向延长线仍经过圆心，根据几何关系求解即可；
（2）画出粒子在磁场中运动轨迹，根据几何关系求出粒子的半径和转过的圆心角即可；
（3）根据几何关系，确定粒子运动轨迹，然后分过程根据运动特征分过程求解粒子运动的路程．

解答：解：（1）粒子进入磁场后做匀速圆周运动qvB=m

v2

r

…①
由几何关系得r=R… ②
由①②得v=

qBR

m

…③
（2）如图所示，粒子射入磁场后，在磁场中以O₂为圆心做匀速圆周运动，从P第一次射出磁场，图中OO₂ PO₁是边长为R的菱形，PO₂平行于y轴，故粒子射出磁场后速度沿x轴正方向．
由几何关系得θ₁=120°
  所以xP=Rsin60°=

3

2

R…④
（3）粒子从O运动到P的路程s1=

θ1

360°

2πR…⑤
粒子从离开磁场到进入电场的路程s₂=R-x_P …⑥
粒子在电场中先匀减速运动到速度为零，然后反向匀加速回来，
a=

qE

m

…⑦
s3=

v2

2a

…⑧
粒子再次射入磁场后，在磁场中以O₃为圆心做匀速圆周运动直到离开磁场
由几何关系得θ₂=60°
故s4=

60°

360°

2πR…⑨
s=s₁+2s₂+2s₃+s₄ …⑩
由③～⑩解得：s=(2+π-

3

)R+

qB2R2

mE

答：（1）若速度v方向沿y轴正方向时，粒子恰好从坐标为（R，R）的A点射出磁场，粒子射入磁场时速度v=

qBR

m

；
（2）若粒子仍以速度v沿与y轴正方向夹角θ=30°方向从O点射入第二象限（如图所示），粒子第一次离开磁场时速度方向及出射点P（图中未画出）到y轴的距离xP=Rsin60°=

3

2

R；
（3）求在（2）问中粒子从射入磁场到最终离开磁场所通过的路程s=(2+π-

3

)R+

qB2R2

mE

点评：解决此类问题的关键是灵活运用几何知识，在图象中作出粒子运动的轨迹，根据几何关系抓住粒子做圆周运动时洛伦兹力提供向心力展开讨论即可．正确作出粒子运动轨迹是解决本题的关键．