Question

2．边长为a的正n边形A₁，A₂，A₃，…A_n各顶点上均有一人，某刻，这些人同时开始以相等的速率v运动，运动中始终保持A₁朝着A₂，A₂朝着A₃，…，A_n朝着A₁，问他们每人各自通过多长的路程而相遇？

Answer 1

分析 任何时刻所有人都构成一个正n边形，同时到达正n边形A₁A₂A₃…A_n的中心．根据A₁相对A₂在连线方向的速度分量，求解各自的路程．

解答 解：由对称性易见，任意时刻他们都落在一个正n边形的顶点上，相遇时所有人同时到达正n边形A₁A₂A₃…A_n的中心．
他们的速度方向的夹角保持不变，所以A₁相对A₂在他们连线方向上的速度分量为常数，为v（1-cos$\frac{2π}{n}$）．
边长为a，则相遇时间为$\frac{a}{v（1-cos\frac{2π}{n}）}$．
又每个人保持速率为v，所以路程为 S=$\frac{a}{1-cos\frac{2π}{n}}$．
答：他们每人各自通过$\frac{a}{1-cos\frac{2π}{n}}$的路程而相遇．

点评 本题关键得出以A₂为参考系A₁的速度，本题也可以通过伽利略相对性原理，始终以两个人之间的连线为参考系．将两个人的速度在这个线上分解，结合运动学公式进行求解．