Question

在如图所示，xoy坐标系第一象限的三角形区域（坐标如图中所标注）内有垂直于纸面向外的

匀强磁场，在x 轴下方有沿＋y方向的匀强电场，电场强度为E。将一个质量为m、带电量为+q的粒子（重力不计）从P（0，－a）点由静止释放。由于x轴上存在一种特殊物质，使粒子每经过一次x轴速

度大小变为穿过前的倍。

（1）欲使粒子能够再次经过x轴，磁场的磁感应强度B₀最小是多少？

（2）在磁感应强度等于第（1）问中B₀的情况下，求粒子在磁场中的运动时间；

（3）若磁场的磁感应强度变为第（1）问中B₀的2倍，求粒子运动的总路程。

Answer 1

（1）设粒子到O点时的速度为v₀，由动能定理有

 解得（1分）

粒子经过O点后，速度为v₁，（1分）

如图甲所示，粒子进入磁场后的轨迹圆与磁场边界相切时，磁感应强度最小为B₀。设粒子轨道半径为R₁，有（1分）

由得   （2分）

（2）如图甲，粒子经O₁点进入电场区域做匀减速运动，后又加速返回，再次进入磁场时的速率（1分）

此时粒子做圆周运动的半径（1分）

其运动轨迹如图甲所示，此后不再进入磁场。由几何关系可知，

则粒子在磁场中运动的时间为（3分）

（3）若B=2B₀，粒子的运动情况如图乙所示，粒子经过O点第一次进入磁场时的速率仍为v₁，在磁场中做圆周运动的半径记为，由第（1）问可知，

，（1分）

粒子从O₁点穿过x轴进入电场时速率为，运动到P₁点后返回，则由动能定理 解得  　（1分）

当粒子第二次进入磁场时的速率

做圆周运动的半径为　（1分）

粒子从O₂点穿过x轴进入电场时速率为，

运动到P₂点后返回，则由动能定理

解得  　（1分）…………

依此类推可知，当粒子第n次进入磁场时，其在磁场中做圆周运动的轨道半径为，再进入电场中前进的距离　（1分）

因此，粒子运动总路程

==　（1分）