Question

13．把地球看成半径为R的均匀球体，已知地球表面的重力加速度为g，自转周期为T，不考虑地球自转对物体重力的影响，求：
（1）地球的第一宇宙速度；
（2）地球同步卫星离地面的高度．

Answer 1

分析 （1）第一宇宙速度是卫星在近地圆轨道上的环绕速度，重力等于万有引力，引力等于向心力，列式求解；
地球的同步卫星的万有引力提供向心力，可以求出地球同步卫星的高度

解答 解：（1）第一宇宙速度等于近地卫星的环绕速度，
对近地卫星列牛顿第二定律方程有
$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得第一宇宙速度 ${v}_{1}=\sqrt{gR}$
（2）对地球的同步卫星的万有引力提供向心力，列牛顿第二定律方程
有 $\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=m\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
式中 GM=gR²
联立解得 h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
答：（1）地球第一宇宙速度是$\sqrt{gR}$；
（2）地球同步卫星距离地面的高度是为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．

点评 解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，地球的同步卫星的万有引力提供向心力．