Question

7．如图为某游乐场的“弹球击物”游戏装置的示意图．质量为m的小球经左侧的弹射系统作用后进入内径比小球直径稍大的组合管道AOBC，A端固定在地面上，BC段水平且用一可以上下移动的硬杆固定，调节BC段的高度h，可以使小球击中装置前方某处的物体．管道O、B关节处用特殊结构连接，使硬杆在上下移动过程中管道连接处能自如地改变角度，并且小球在经过连接处时机械能损失忽略不计．已知A端与C之间的水平距离d=4m，控制左侧的弹射系统使小球每次从A端进入管道时的速度都是v₀=10m/s，BC段能够调节的高度范围为2m≤h≤3.5m，g取10m/s²．

（1）若管道处处光滑，BC段下调到最低高度，求小球离开管口C后水平射程．
（2）若小球与管道之间的动摩擦因数为μ=0.5，求小球离开管口C后的水平射程范围．

Answer 1

分析 （1）对物体A到C过程根据动能定理求C点的速度，然后C飞出后做平抛运动，根据平抛运动规律列方程求解；
（2）重新根据动能定理列方程表示出C点的速度，然后根据平抛运动规律表示出水平射程，结合数学知识求极值．

解答 解：（1）由A到C过程：-mgh=$\frac{1}{2}$mv_c²-$\frac{1}{2}$mv₀² 
抛出后：h=$\frac{1}{2}$gt² 
水平射程：x=v_ct=2$\sqrt{6}$m
（2）设当BC的高度调为h₁ 时，水平射程为x₁，则：
-mgh₁-μmgd=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²    …①
h₁=$\frac{1}{2}$gt₁²  …②x₁=v₁t₁   …③
由①、②、③式得：x₁=$\sqrt{-4{{h}_{1}}^{2}+（\frac{2{{v}_{0}}^{2}}{g}-4μd）{h}_{1}}$
令y=-4h₁²+（$\frac{2{{v}_{0}}^{2}}{g}$-4μd）h₁…④
则当h₁=1.5m，y有极大值，即x₁有极大值；
但h的最小值为2m，所以h=2m时，射程最大，最大射程x_m=2$\sqrt{2}$m
设小球到达C时速度为0时，BC的高度为h₂
-mgh₂-μmgd=0-$\frac{1}{2}$mv₀² 
h₂=3m
即：h₂=3m时，v_c=0   水平射程为0            
所以，小球离开管口C后的水平射程范围为：
0≤x≤2$\sqrt{2}$m
答：（1）若管道处处光滑，BC段下调到最低高度，小球离开管口C后水平射程为2$\sqrt{6}$m．
（2）若小球与管道之间的动摩擦因数为μ=0.5，小球离开管口C后的水平射程范围为0≤x≤2$\sqrt{2}$m．

点评 本题的是多过程问题，关键是分析清楚小球的运动规律，多次根据动能定理、平抛运动规律，并要树立数学方法解决物理问题的思想．