Question

10．如图所示，在光滑水平桌面上的虚线MN左侧有方向竖直向上的匀强磁场，一质量为m、电阻为R、边长为L的正方形导体框静止在水平桌面上，且一条边框与MN平行．现对线框施加水平向右的恒力，线框从静止开始运动直到离开磁场，速度传感器记录了线框在该过程中速度随时间变化的v-t图线，图中v₀，t₀为已知量．求：
（1）线框穿出磁场过程中电流强度I和通过线框的电量q；
（2）匀强磁场的磁感应强度B；
（3）若导体框初始位置不变，施加的恒力为原来的2倍，传感器测量到线框离开磁场前已经做匀速运动，则此情景下线框穿出磁场过程中产生电热Q．

Answer 1

分析 （1）根据v-t图象求得力F作用时的加速度，由牛顿第二定律求得F的大小，再根据匀速出磁场的过程中拉力的功率与导体框的热功率相等求得穿出磁场过程中的电流大小，再根据Q=It求得电荷量；
（2）因为导体框匀速出磁场，故根据拉力与安培力相等求得磁感应强度的大小即可；
（3）当以拉力F作用时，在加速x₀至速度为v₀导体框开始出磁场，当以2F加速x₀时速度达到v₁导体框开始出磁场，当通过L的过程中，拉力F做的功一部分用来增大导体框的动能，一部分克服安培力做功（即为放出的热量），再根据匀速出磁场求得以2F出磁场时的速度，由能量守恒定律求解．

解答 解：（1）由v-t图象知，导体框在力F作用下产生的加速度a=$\frac{{v}_{0}}{{t}_{0}}$
因为导体框匀速离开磁场区域，故有：
F=ma=$m\frac{{v}_{0}}{{t}_{0}}$
因为匀速穿出磁场，故拉力F的功率等于导体框的热功率，故有：
$F{v}_{0}={I}^{2}R$
可得导体框穿出磁场时的电流
I=$\sqrt{\frac{F{v}_{0}}{R}}$=$\sqrt{\frac{m{v}_{0}^{2}}{R{t}_{0}}}$
导体框穿出磁场过程中通过导体框的电荷量
Q=It=$\sqrt{\frac{m{v}_{0}^{2}}{R{t}_{0}}}•\frac{L}{{v}_{0}}$=$\sqrt{\frac{m{L}^{2}}{R{t}_{0}}}$
（2）因为导体框匀速出磁场，故可得拉力F与安培力平衡即
F=m$\frac{{v}_{0}}{{t}_{0}}$=BIL
可得磁感应强度B=$\frac{m\frac{{v}_{0}}{{t}_{0}}}{\sqrt{\frac{m{v}_{0}^{2}}{R{t}_{0}}}L}$=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mR}{{t}_{0}}}$
（3）拉力为F时，加速距离为x₀，由题意满足：
$F{x}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$      
匀速离开磁场过程中有：
F-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{R}=0$
当拉力为2F时，在加速通过距离x₀的过程中有：
$2F{x}_{0}=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
离开磁场前达到匀速运动有：
2F-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R}$=0
所以可得v₂=2v₀
所以根据能量守恒定律可知，在以2F拉力穿过磁场过程中有：
$2FL=Q+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
联列解得：Q=$\frac{2m{v}_{0}L}{{t}_{0}}-m{v}_{0}^{2}$
答：（1）线框穿出磁场过程中电流强度I为$\sqrt{\frac{m{v}_{0}^{2}}{R{t}_{0}}}$和通过线框的电量q为$\sqrt{\frac{m{L}^{2}}{R{t}_{0}}}$；
（2）匀强磁场的磁感应强度B为$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mR}{{t}_{0}}}$；
（3）若导体框初始位置不变，施加的恒力为原来的2倍，传感器测量到线框离开磁场前已经做匀速运动，则此情景下线框穿出磁场过程中产生电热Q为$\frac{2m{v}_{0}L}{{t}_{0}}-m{v}_{0}^{2}$．

点评 本题是导体在导轨上滑动类型，要从力和能量两个角度分析答题，关键要掌握法拉第定律、欧姆定律、能量守恒等等基本规律，并能正确运用．