Question

15．某密度均匀的球形天体半径R=8100km，表面有一圆锥摆，当摆线与竖直方向成θ=30°角时，周期T=πs，摆长L=$\frac{5}{3}\sqrt{3}$m．求：
（1）其表面重力加速度值；
（2）该天体第一宇宙速度多大？
（3）该天体最小圆轨道上运动的卫星周期是多少小时？

Answer 1

分析 （1）对小球受力分析，根据牛顿第二定律列式求天体表面的重力加速度；
（2）对于天体的近地卫星，根据重力提供向心力，得出第一宇宙速度表达式，即可求解
（3）根据重力提供向心力，当轨道半径最小时，周期越小

解答 解：（1）对小球受力分析，根据牛顿第二定律有
$mgtan30°=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}Lsin30°$
解得：$g=\frac{{4{π^2}Lcos30°}}{T^2}=4×\frac{5}{3}\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}m/{s^2}=10m/{s^2}$
（2）天体的近地卫星：
$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
代入解得：${V_1}=\sqrt{gR}=9×{10^3}m/s$
（3）该天体的近地卫星，根据重力提供向心力
$mg=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R$
代入解得${T}_{卫}^{\;}=2π\sqrt{\frac{R}{g}}=6.28×\sqrt{\frac{81×1{0}_{\;}^{5}}{10}}$=1884s=0.52h
答：（1）其表面重力加速度值$10m/{s}_{\;}^{2}$；
（2）该天体第一宇宙速度9km/s
（3）该天体最小圆轨道上运动的卫星周期是0.52小时

点评 本题考查圆周运动和万有引力定律的综合，注意理解第一宇宙速度即近地卫星的运行速度，注意第一宇宙速度公式的推导．