Question

16．水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接，起点A距水面的高度H=7.0m，BC长d=2.0m，端点C距水面的高度h=1.0m．一质量m=50kg的运动员从滑道起点A点无初速地自由滑下，不计空气的阻力（取重力加速度g=10m/s²，cos37°=0.8，sin37°=0.6，运动员在运动过程中可视为质点）
（1）若假设运动员与AB、BC间没有摩擦力，求运动员到达C点时速度的大小．
（2）若运动员与AB、BC间有摩擦力，且动摩擦因数均为μ=0.10．求运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功为多少？，运动员到达C点时速度的大小又为多少？
（3）在第（2）问的前提下，保持水平滑道端点在同一竖直线上，调节水平滑道高度h和长度d到图中B′C′位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道B′C′距水面的高度h′．

Answer 1

分析 （1）在下滑过程中根据动能定理求得速度；
（2）运动员从A滑到C的过程中，克服摩擦力做功为W=μmgcosθ（$\frac{H-h}{sinθ}$）+μmgd=μmg[d+（H-h）cotθ]．根据动能定理求解到达C点时速度的大小υ；
（3）运动员从A滑到C的过程中，克服摩擦力做功W保持不变，根据动能定理得到运动员滑到C点时的速度大小．从C到水平地面，运动员做平抛运动，由平抛运动的规律得到水平位移h′的关系式，由数学知识求解水平位移最大时h′的值．

解答 解：（1）从A到C根据动能定理可知：
$gm（H-h）=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$
解得：${v}_{2}=\sqrt{2g（H-h）}=6\sqrt{5}m/s$
（2）运动员从A滑到C的过程中，克服摩擦力做功为：
$W=θmgcosθ•\frac{H-h}{sinθ}+μmgd$=500J
根据动能定理可知：
$mg（H-h）-W=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
得运动员滑到C点时速度的大小为：v=10 m/s    
（3）在从C点滑出至落到水面的过程中，运动员做平抛运动的时间为t，
$h′=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，
解得：t=$\sqrt{\frac{2h′}{g}}$
下滑过程中克服摩擦做功保持不变，为：W=500J
根据动能定理得：$mg（H-h′）-W=\frac{1}{2}m{v}^{2}-0$
解得：v=$\sqrt{2g（H-l-h′）}$
运动员在水平方向的位移为：$x=vt=\sqrt{2g（H-l-h′）}•\sqrt{\frac{2h′}{g}}$=$\sqrt{4（H-l-h′）h′}$
当$h′=\frac{H-l}{2}=3$m时，水平位移最大．
答：（1）运动员到达C点时速度的大小为$6\sqrt{5}m/s$．
（2）运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功为500J，运动员到达C点时速度的大小又为10m/s
（3）此时滑道B′C′距水面的高度h′为3m．

点评 本题中关键之处要抓住滑动摩擦力做功W=μmg[d+（H-h）cotθ]，与AC间水平位移大小成正比，AC间水平位移不变，W不变．第3问得到水平位移x与h′的关系式，根据数学知识求解极大值的条件．