Question

6．有一固定的圆筒，其轴线水平，截面半径为R，如图所示．质量为m的小球沿圆筒的内侧面做圆周运动，t₁时刻小球以速率$\sqrt{2gR}$过最高点，t₂时刻小球过最低点且对圆筒的压力为6mg．
（1）小球过最低点时速度大小为多少？
（2）从t₁至t₂的时间间隔内，阻力（包括摩擦阻力和空气阻力）对小球所做的功为多少？

Answer 1

分析 （1）小球在最低点时，由重力和轨道支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求小球过最低点时速度．
（2）从t₁至t₂的时间间隔内，运用动能定理列式，求解阻力（包括摩擦阻力和空气阻力）对小球所做的功．

解答 解：（1）设小球通过最高点和最低点的速度大小分别为v₁和v₂．
小球在最低点时，由重力和轨道支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律得：
     N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
据题可得，N=6mg
解得 v₂=$\sqrt{5gR}$
（2）设从t₁至t₂的时间间隔内，阻力（包括摩擦阻力和空气阻力）对小球所做的功为W．
由动能定理得：
   2mgR+W=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
据题 v₁=$\sqrt{2gR}$
联立解得 W=-$\frac{1}{2}$mgR
答：
（1）小球过最低点时速度大小为$\sqrt{5gR}$．
（2）从t₁至t₂的时间间隔内，阻力（包括摩擦阻力和空气阻力）对小球所做的功为-$\frac{1}{2}$mgR．

点评 对小球正确受力分析，确定向心力的来源是关键．要知道动能定理是求变力做功常用的方法．