Question

17．已知月球绕地球做匀速圆周运动，周期约为27天，万有引力常量为G，下列说法正确的是（　　）

• A． 可以估算地球的质量
• B． 可以估算月球的质量
• C． 可以估算月球的轨道半径和地球同步卫星的轨道半径之比
• D． 可以估算月球的向心加速度和地球同步卫星的向心加速度之比

Answer 1

分析 研究卫星绕行星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体的质量．根据万有引力提供向心力，不能求出环绕天体的质量．
根据万有引力提供向心力求出半径与周期之间的关系，然后求出向心加速度之间的关系；

解答 解：A、设地球的质量为M．由行星对卫星的万有引力提供向心力得$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
解之得：$M=\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
可知仅仅知道万有引力常量为G和月球的周期，不能求出地球的质量；故A错误；
B、根据万有引力提供向心力，不能求出月球的质量．故B错误；
C、由万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=\frac{m4{π}^{2}}{{T}^{2}}R$
所以：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=\frac{GM}{4{π}^{2}}$
月球的周期为27天，同步卫星的周期为1天，所以可以求出可以估算月球的轨道半径和地球同步卫星的轨道半径之比为：$\frac{{R}_{月}}{{R}_{卫}}=\root{3}{\frac{2{7}^{2}}{1}}=9$．故C正确；
D、万有引力提供向心加速度，则：a=$\frac{GM}{{R}^{2}}$
所以可以估算月球的向心加速度和地球同步卫星的向心加速度之比为：$\frac{{a}_{月}}{{a}_{卫}}=\frac{{R}_{卫}^{2}}{{R}_{月}^{2}}=\frac{1}{81}$．故D正确．
故选：CD

点评 本题考查了万有引力在天体中的应用，解题的关键在于找出向心力的来源，并能列出等式解题．