Question

12．近几年来我国在深海与太空探测方面有了重大的发展．2015年1月5日“蛟龙号”载人潜水器在西南印度洋“龙旅”热液区完成两次下潜科考任务，2016年8月16日1时40分，我国将世界首颗量子科学实验卫星（简称“量子卫星”）发射升空．把地球看做质量分布均匀的球体且质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．若地球半径为R，“蛟龙号”下潜深度为d，量子卫星轨道距离地面高度为h，“蛟龙号”所在处与“量子卫星”所处的加速度之比为（　　）

• A． $\frac{{{{（R-d）}^2}}}{{{{（R+h）}^2}}}$
• B． $\frac{R-d}{R+h}$
• C． $\frac{{（R-d）{{（R+h）}^2}}}{R^3}$
• D． $\frac{{（R-d）{{（R+h）}^{\;}}}}{R^2}$

Answer 1

分析 根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，深度为d的地球内部的重力加速度相当于半径为R-d的球体在其表面产生的重力加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系求解深度为d处的重力加速度与地面重力加速度的比值．卫星绕地球做圆周运动时，运用万有引力提供向心力可以解出高度为h处的加速度，再求其比值

解答 解：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，
由于地球的质量为：M=$\frac{4}{3}π{R}^{3}ρ$，所以重力加速度的表达式可写成：g=$\frac{4}{3}πGρR$．
根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力，故井底的重力加速度g′=$\frac{4}{3}πGρ（R-d）$πGρ（R-d）．
所以有$\frac{g′}{g}$=$\frac{R-d}{R}$．
根据万有引力提供向心力$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=ma，量子卫星的加速度a=$\frac{GM}{（R+h）^{2}}$，
所以$\frac{a}{g}$=$\frac{{R}^{2}}{（R+h）^{2}}$，
所以$\frac{{g}^{′}}{a}$=$\frac{（R-d）（R+h）^{2}}{{R}^{3}}$，故C正确，A、B、D错误．
故选：C

点评 抓住在地球表面重力和万有引力相等，在地球内部，地球的重力和万有引力相等，要注意在地球内部距离地面d处所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为（R-d）的球体的质量m．