Question

光滑的水平轨道AB，与半径为R的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点，其中圆轨道在竖直平面内，B为最低点，D为最高点．为使一质量为m的小球以初速度v₀沿AB运动，恰能通过最高点，则（　　）

• A、R越小，v₀越大
• B、m越大，v₀越大
• C、R越大，小球经过B点后瞬间对轨道的压力越大
• D、小球经过B点后瞬间对轨道的压力与R无关

Answer 1

分析：小球恰能通过最高点时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球经最高点时的速度，根据动能定理求出初速度v₀与半径R的关系．小球经过B点后的瞬间由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，由牛顿运动定律研究小球对轨道的压力与半径的关系．

解答：解：
A、B小球恰能通过最高点时，由重力提供向心力，则有：mg=m

v 2 D

R

，v_D=

gR

；
根据动能定理得，

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 D

+2mgR，得到 v₀=

5gR

，可见，R越大，v₀越大，而且v₀与小球的质量m无关．故A、C错误．
C、D小球经过B点后的瞬间，N-mg=m

v 2 0

R

，得到轨道对小球的支持力 N=mg+m

v 2 0

R

=6mg，则N与R无关，则小球经过B点后瞬间对轨道的压力与R无关．故C错误，D正确．
故选：D

点评：动能定理与向心力知识综合是常见的题型．小球恰好通过最高点时速度与轻绳模型类似，轨道对小球恰好没有作用力，由重力提供向心力，临界速度v=

gR

，做选择题时可直接运用．