Question

5．碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用．为了探究这一规律，我们采用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的简化力学模型．如图2所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为m₁、m₂、m₃…m_n-1、m_n…的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能E_k1，从而引起各球的依次碰撞．定义其中第n个球经过依次碰撞后获得的动能E_kn，E_kn与E_k1之比为第1个球对第n个球的动能传递系数k_1n
a、求k_1n
b、若m₁=4m₀，m₃=m₀，m₀为确定的已知量．求m₂为何值时，k₁₃值最大．

Answer 1

分析 a、由于两球在碰撞的过程中机械能守恒，同时动量也守恒，列出方程组即可求得碰撞后小球m₂的速度大小；
b、根据动能传递系数的定义，求出第n个球的动能，与第1个球的动能相比较即可，再根据得到的结论分析即可求得m₂的值．

解答 解：a、设碰撞前m₁的速度为v₁₀，根据机械能守恒定律有：
m₁gh=$\frac{1}{2}$m₁${v}_{10}^{2}$ …①
设碰撞后m₁与m₂的速度分别为v₁和v₂，取向右为正方向，根据动量守恒定律有：
m₁v₁₀=m₁v₁+m₂v₂…②
由于碰撞过程中无机械能损失，有：
 $\frac{1}{2}$m₁v₁₀²=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂² …③
②、③式联立解得：v₂=$\frac{2{m}_{1}{v}_{10}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$…④
将①式代入④式得：v₂=$\frac{2{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}$$\sqrt{2gh}$
（2）①：由④式，考虑到E_K1=$\frac{1}{2}$m₁${v}_{10}^{2}$和E_K2=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{2}^{2}$
得：E_k2=$\frac{4{m}_{1}{m}_{2}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}{E}_{k1}$
根据动能传递系数的定义，对于1、2两球有：k₁₂=$\frac{{E}_{k2}}{{E}_{k1}}$=$\frac{4{m}_{1}{m}_{2}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$…⑤
同理可得，球m₂和球m₃碰撞后，动能传递系数k₁₃应为：
k₁₃=$\frac{{E}_{k3}}{{E}_{k1}}$=$\frac{{E}_{k2}}{{E}_{k1}}$•$\frac{{E}_{k3}}{{E}_{k2}}$=$\frac{4{m}_{1}{m}_{2}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$•$\frac{4{m}_{2}{m}_{3}}{（{m}_{2}+{m}_{3}）^{2}}$…⑥
依此类推，动能传递系数k_1n应为：
k_1n=$\frac{{E}_{kn}}{{E}_{k1}}$=$\frac{{E}_{k2}}{{E}_{k1}}$•$\frac{{E}_{k3}}{{E}_{k2}}$…$\frac{{E}_{kn}}{{E}_{k（n-1）}}$=$\frac{4{m}_{1}{m}_{2}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$•$\frac{4{m}_{2}{m}_{3}}{（{m}_{2}+{m}_{3}）^{2}}$•…$\frac{4{m}_{n-1}{m}_{n}}{（{m}_{n-1}+{m}_{n}）^{2}}$
解得 k_1n=$\frac{{4}^{n-1}{m}_{1}{m}_{2}^{2}{m}_{3}^{2}…{m}_{n-1}^{2}{m}_{n}^{\;}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}（{m}_{2}+{m}_{3}）^{2}…（{m}_{n-1}+{m}_{n}）^{2}}$
b、将m₁=4m₀，m₃=m₀代入⑥式可得 ${k_{12}}=64m_0^2{[{\frac{m_2}{{（4{m_0}+{m_2}）（{m_2}+{m_0}）}}}]^2}$
为使k₁₃最大，只需使 $\frac{m_2}{{（4{m_0}+{m_2}）（{m_2}+{m_0}）}}=\frac{1}{{{m_2}+\frac{4m_0^2}{m_2}+5{m_0}}}$最大，
即${m_2}+\frac{4m_0^2}{m_2}$取最小值，
由${m_2}+\frac{4m_0^2}{m^2}={（{\sqrt{m_2}-\frac{{2{m_0}}}{{\sqrt{m_2}}}}）^2}+4{m_0}$可知．
当$\sqrt{m_2}=\frac{{2{m_0}}}{{\sqrt{m_2}}}$，即m₂=2m₀时，k₁₃最大．
答：a、k_1n是$\frac{{4}^{n-1}{m}_{1}{m}_{2}^{2}{m}_{3}^{2}…{m}_{n-1}^{2}{m}_{n}^{\;}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}（{m}_{2}+{m}_{3}）^{2}…（{m}_{n-1}+{m}_{n}）^{2}}$．
b、当m₂=2m₀ 时，k₁₃值最大．

点评 本题目中给的信息比较多，并且是平时不曾遇到的，但是根据题目的信息，逐步分析，根据动能的规律归纳，可求出每个小球的动能，再作比较就能够的出结论．