Question

7．如图所示，质量m=50kg的运动员（可视为质点），在河岸上A点紧握一根长L=5.0m的不可伸长的轻绳，轻绳另一端系在距离水面高H=10.0m的O点，此时轻绳与竖直方向的夹角为θ=37°，C点是位于O点正下方水面上的一点，距离C点x=4.8m处的D点有一只救生圈，O、A、C、D各点均在同一竖直面内．若运动员抓紧绳端点，从台阶上A点沿垂直于轻绳斜向下以一定初速度v₀跃出，当摆到O点正下方的B点时松开手，最终恰能落在救生圈内．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）求：
（1）运动员经过B点时速度的大小v_B；
（2）运动员从台阶上A点跃出时的动能E_k；
（3）若初速度v₀不一定，且使运动员最终仍能落在救生圈内，则救生圈离C点距离x将随运动员离开A点时初速度υ₀的变化而变化．试写出x与v₀的函数．

Answer 1

分析 （1）运动员从B点到D点做平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得在B点的速度的大小；
（2）从A点到B点的过程中人的机械能守恒，根据机械能守恒定律可以求得人的初动能的大小；
（3）人离开B点之后做的是平抛运动，所以水平方向是匀速直线运动，由动能定理可以表示出初速度的大小，从而可以求得x和初速度v₀的关系．

解答 解：（1）运动员从B点到D点做平抛运动，则有
  $H-L=\frac{1}{2}g{t^2}$
  x=υ_Bt
由①②式代入数据解得 υ_B=4.8m/s
（2）运动员从A点到B点的过程中，由机械能守恒定律得：
mgh_AB=$\frac{1}{2}m{υ_B}^2$-E_k  其中 h_AB=L（1-cosθ）
由③④式代入数据解得 E_k=76J
（3）设运动员经O点正下方时的速度为υ′_B，则
  $\frac{1}{2}m{υ'_B}^2$-$\frac{1}{2}m{υ_0}^2$=mg（H-Lcos37°-h）      
  x=${υ'_B}•\sqrt{\frac{2h}{g}}$
解得：x²-$υ_0^2$=20
答：
（1）运动员经过B点时速度的大小v_B是4.8m/s．
（2）运动员从台阶上A点跃出时的动能E_k是76J．
（3）x与v₀的函数是x²-$υ_0^2$=20．

点评 本题是两个过程的问题，要把握每个过程和状态的规律，运用平抛运动的规律、动能定理、牛顿运动定律结合进行研究．