Question

18．已知地球质量大约是月球质量的81倍，地球半径大约是月球半径的4倍．如图所示，甲、乙两个完全相同的斜面分别固定在地球和月球的水平地面上，将相同的小球从斜面上的同一高度O点处，以相同初速度v₀沿水平方向抛出，分别落在甲、乙斜面上的A、B两点（图中未画出）．不计空气阻力且忽略地球和月球自转影响，则下列说法正确的是（　　）

• A． 不可以求出OA之间距离和OB之间距离之比
• B． 小球落到A点与落到B点的速率不相同
• C． 小球从抛出到落在B点所用时间大于小球从抛出到落在A点所用时间
• D． 小球从抛出到落在A点与小球从抛出到落在B点过程中，合力对小球做功不同

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力，求出地球表面和月球表面的重力加速度之比，根据分析合力做功大小和末速度大小关系，根据平抛运动的规律求出小球的时间大小关系．

解答 解：根据天体表面物体重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
得$g=G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}$
$\frac{{g}_{地}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}=\frac{{M}_{地}^{\;}}{{M}_{月}^{\;}}\frac{{R}_{月}^{2}}{{R}_{地}^{2}}=\frac{81}{1}×\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$
将平抛运动分解为水平和竖直方向，设水平位移为x，竖直位移为y，根据几何关系有
$tanθ=\frac{y}{x}=\frac{\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}}{{v}_{0}^{\;}t}$得$t=\frac{2{v}_{0}^{\;}tanθ}{g}$∝$\frac{1}{g}$
$\frac{{t}_{B}^{\;}}{{t}_{A}^{\;}}=\frac{{g}_{地}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}=\frac{81}{16}$，即小球抛出到落在B点所用时间大于小球从抛出到落在A点所用时间，故C正确．
小球的位移$l=\frac{x}{cosθ}=\frac{{v}_{0}^{\;}t}{cosθ}$∝t
所以$\frac{{l}_{OA}^{\;}}{{l}_{OB}^{\;}}=\frac{{t}_{A}^{\;}}{{t}_{B}^{\;}}=\frac{16}{81}$，故A错误；
合力做的功等于重力所做的功${W}_{合}^{\;}=mgh=mg（\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}）=\frac{1}{2}m{g}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}$=$\frac{1}{2}m（gt）_{\;}^{2}=\frac{1}{2}m（g×\frac{2{v}_{0}^{\;}tanθ}{g}）_{\;}^{2}$=$2m{v}_{0}^{2}ta{n}_{\;}^{2}θ$，相同小球m相同，相同的初速度${v}_{0}^{\;}$，相同的斜面θ相同，故D错误．
根据动能定理${W}_{合}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，由上述分析知，${W}_{合}^{\;}$相同，$m、{v}_{0}^{\;}$相同，所以落到斜面速度大小相等，故B错误．
故选：C

点评 本题将万有引力定律和平抛运动、动能定理综合考查，由重力近似等于万有引力求出重力加速度之比，平抛运动根据运动的合成与分解处理，有一定的难度．