Question

4．如图（甲）所示，一固定的矩形导体线圈水平放置，线圈的两端接一只小灯泡，在线圈所在空间内存在着与线圈平面垂直的均匀分布的磁场．已知线圈的匝数n=100匝，电阻r=1.0Ω，所围成矩形的面积S=0.04m²，小灯泡的电阻R=9.0Ω，磁场的磁感应强度随按如图（乙）所示的规律变化，线圈中产生的感应电动势瞬时值的表达式为e=nB_mS$\frac{2π}{T}$cos$\frac{2π}{T}$t，其中Bm为磁感应强度的最大值，T为磁场变化的周期．不计灯丝电阻随温度的变化，求：

（1）线圈中产生感应电动势的最大值．
（2）小灯泡消耗的电功率．
（3）在磁感强度变化的0～$\frac{T}{4}$的时间内，通过小灯泡的电荷量．

Answer 1

分析 （1）根据B-t图象读出周期T，由公式E_m=nB_mSω求出线圈中产生感应电动势的最大值；
（2）根据欧姆定律求出电流的最大值，再求出电流的有效值，由电流的有效值求解小灯泡消耗的电功率．
（3）根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电流的公式求解0～$\frac{T}{4}$ 时间内，通过小灯泡的电荷量．

解答 解：（1）因为线圈中产生的感应电流变化的周期与磁场变化的周期相同，所以由图象可知，线圈中产生交变电流的周期为 T=3.14×10^-2s．
所以线圈中感应电动势的最大值为E_m=nB_mSω=nB_mS•$\frac{2π}{T}$=100×1×0.040×$\frac{2×3.14}{3.14×1{0}^{-2}}$V=8V
（2）根据欧姆定律，电路中电流的最大值为 I_m=$\frac{{E}_{m}}{R+r}$=0.80A
通过小灯泡电流的有效值为 I=$\frac{{I}_{m}}{\sqrt{2}}$=0.4$\sqrt{2}$A
小灯泡消耗的电功率为 P=I²R=2.88W 
（3）在磁感应强度变化的1～1/4周期内，线圈中感应电动势的平均值$\overline{E}$=nS$\frac{△B}{△t}$
通过灯泡的平均电流$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$=$\frac{nS△B}{（R+r）△t}$
通过灯泡的电荷量 Q=$\overline{I}$△t=$\frac{nS△B}{R+r}$=4.0×10^-3C
答：
（1）线圈中产生感应电动势的最大值为8V；
（2）小灯泡消耗的电功率为2.88W；
（3）在磁感应强度变化的0～$\frac{T}{4}$时间内，通过小灯泡的电荷量为4.0×10^-3C．

点评 求解交变电流的电功率时要用有效值．在电磁感应中通过导体截面的电量经验公式是Q=n$\frac{△∅}{R+r}$，可以在推导的基础上记住．