Question

如图所示，在真空室中平面直角坐标系的y轴竖直向上，x轴上的P点与Q点关于坐标原点O对称，PQ间的距离d=30cm．坐标系所在空间存在一匀强电场，场强的大小E=1.0N/C．一带电油滴在xOy平面内，从P点与x轴成30°的夹角射出，该油滴将做匀速直线运动，已知油滴的速度v=2.0m/s射出，所带电荷量q=1.0×10^-7C，重力加速度为g=10m/s²．
（1）求油滴的质量m．
（2）若在空间叠加一个垂直于xOy平面的圆形有界匀强磁场，使油滴通过Q点，且其运动轨迹关于y轴对称．已知磁场的磁感应强度大小为B=2.0T，求：
a．油滴在磁场中运动的时间t；
b．圆形磁场区域的最小面积S．

Answer 1

分析：（1）对带电油滴进行受力分析，根据牛顿运动定律即可求解；
（2）带电油滴进入匀强磁场，其轨迹如图所示，根据向心力公式、求出半径，进而求出周期，根据几何关系求出圆心角，继而求出粒子在磁场中运动的时间，由题意可知，油滴在P到M和N到Q的过程中做匀速直线运动，且运动时间相等．根据几何关系和速度公式求解粒子在这两段运动过程中的时间，三段运动时间之和即为总时间，连接MN，当MN为圆形磁场的直径时，圆形磁场面积最小，根据几何关系求出半径，S=πr²求解面积．

解答：解：
（1）对带电油滴进行受力分析，根据牛顿运动定律有qE-mg=0
所以m=

qE

g

=1.0×10-8kg
（2）带电油滴进入匀强磁场，其轨迹如图所示，设其做匀速圆周运动设圆周运动的半径为R、运动周期为T、油滴在磁场中运动的时间为t，根据牛顿第二定律：
所以qvB=

mv2

R

?R=

mv

qB

=0.10m
所以T=

2πR

v

=0.1πs
设带电油滴从M点进入磁场，从N点射出磁场，由于油滴的运动轨迹关于y轴对称，如图所示，根据几何关系可知∠MO'N=60°，所以，带电油滴在磁场中运动的时间t2=

T

6

=

0.1π

6

s
由题意可知，油滴在P到M和N到Q的过程中做匀速直线运动，且运动时间相等．根据几何关系可知，PM=NQ=

d 2 -Rsin30°

cos30°

=

0.2

3

3

m
所以油滴在P到M和N到Q过程中的运动时间t1=t3=

PM

v

=

0.1

3

3

s
则油滴从P到Q运动的时间t=t1+t2+t3=(

0.2

3

3

+

0.1

6

π)s≈0.17s
连接MN，当MN为圆形磁场的直径时，圆形磁场面积最小，如图所示．根据几何关系圆形磁场的半径r=Rsin30°=0.05m
其面积为S=πr²=0.0025πm²≈7.9×10^-3m²
答：（1）求油滴的质量m为1.0×10^-8kg．
（2）a．油滴在磁场中运动的时间为0.17s；
b．圆形磁场区域的最小面积S为7.9×10^-3m²．

点评：本题关键是先确定油滴的运动情况，并画出运动轨迹，然后逐段逐段分析，匀速圆周运动阶段洛伦兹力提供向心力，并结合几何知识求解，难度适中．