Question

3．在空间足够大的方向竖直向下的匀强电场中两长为L的绝缘细线并列上端固定，另一端悬挂质量分别为m_A和m_B的带正电小球，带电量分别为q_A和q_B，且有$\frac{{q}_{A}}{{m}_{A}}$=$\frac{{q}_{B}}{{m}_{B}}$=k．平衡时，两小球刚好相接触并无弹力，距地面高度为H，现将A球拉离至与悬点等高处，使细线绷直，由静止释放，当A摆至最低点时与B球发生弹性碰撞，刚碰撞完的瞬间，系B球的细线突然被拉断．（不计两球间的库仑力，已知电场强度为E．）求：
（1）A与B碰撞前瞬间的速度大小．
（2）B球落地点到悬点的水平距离和A球碰撞后上升的最大高度．

Answer 1

分析 （1）A向下运动的过程中重力和电场力做功，由动能定理即可求出A到达最低点的速度；
（2）两个小球在最低点受到重力和绳子的拉力、电场力，水平方向的动量守恒，由动量守恒即可求出碰撞后的速度，再分别由平抛运动与机械能守恒即可求出．

解答 解：（1）A向下运动的过程中重力和电场力做功，由动能定理得：
${m}_{A}gL+{q}_{A}E•L=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}$
所以：v=$\sqrt{2gL+2kEL}$
（2）两个小球在最低点受到重力和绳子的拉力、电场力，水平方向A与B组成的系统的动量守恒，选取向右为正方向，则：
m_Av=m_Av_A+m_Bv_B
弹性碰撞的过程中机械能守恒，所以：
$\frac{1}{2}{m}_{A}{v}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{v}_{B}^{2}$
联立得：${v}_{A}=\frac{{m}_{B}-{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}•\sqrt{2gL+2kEL}$；${v}_{B}=\frac{2{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}•\sqrt{2gL+2kEL}$．
碰撞后A做单摆运动，机械能守恒，到达最高点时：
${m}_{A}gh+{q}_{A}E•h=\frac{1}{2}{m}_{A}{v}_{A}^{2}$
所以：h=$\frac{{v}_{A}^{2}}{2（g+kE）}$=（$\frac{{m}_{B}-{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$）²•L
由题意B做类平抛运动，竖直方向的加速度：
a=$\frac{{m}_{B}g+{q}_{B}E}{{m}_{B}}=\frac{{m}_{B}g+k{m}_{B}E}{{m}_{B}}=g+kE$
竖直方向：H=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，水平方向：X=v_Bt
联立得：X=$\frac{2{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}•\sqrt{2HL}$
答：（1）A与B碰撞前瞬间的速度大小是$\sqrt{2gL+2kEL}$．
（2）B球落地点到悬点的水平距离是$\frac{2{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}•\sqrt{2HL}$，A球碰撞后上升的最大高度是（$\frac{{m}_{B}-{m}_{A}}{{m}_{A}+{m}_{B}}$）²•L．

点评 该题数据竖直平面内的圆周运动、动量守恒动量以及类平抛运动等，涉及的过程多，物理量多，在解答的过程中要细心．