Question

14．如图甲所示，两个带正电的小球A、B套在一个倾斜的光滑直杆上，两球均可视为点电荷，其中A球固定，带电量Q_A=2×10^-4C，B球的质量为m=0.1kg．以A为坐标原点，沿杆向上建立直线坐标系，A、B球与地球所组成的系统总势能（重力势能与电势能之和）随位置x的变化规律如图中曲线Ⅰ所示，直线Ⅱ为曲线I的渐近线．图中M点离A点距离为6米．（g取10m/s²，静电力恒量k=9.0×10⁹N•m²/C²．令A处所在平面为重力势能的零势能面，无穷远处为零电势能处）．

（1）求杆与水平面的夹角θ； 
（2）求B球的带电量Q_B；
 （3）求M点电势φ_M；
（4）若B球以E_k0=4J的初动能从M点开始沿杆向上滑动，求B球运动过程中离A球的最近距离及此时B球的加速度．

Answer 1

分析 （1）由图运用数学知识得到 E_p=mgxsinθ=kx，从而的角度θ；
（2）由图乙中的曲线Ⅰ知，在x=6m出总势能最小，动能最大，该位置B受力平衡，根据平衡条件和库仑定律求解电荷量．
（3）根据电势和电势能关系求解电势；
（4）根据能量守恒和牛顿运动定律求解加速度a．

解答 解：（1）渐进线Ⅱ表示B的重力势能随位置的变化关系，即 E_p=mgxsinθ=kx
则 sinθ=$\frac{k}{mg}$=0.5   即 θ=30°；
（2）由图乙中的曲线Ⅰ知，在x=6m出总势能最小，动能最大，该位置B受力平衡
则有  mgsin30°=k$\frac{{Q}_{A}{Q}_{B}}{{x}^{2}}$    
解得 Q_B=1×10^-5C；
（3）M点的电势能 E_PM=E_总-E_P=6-3=3J
则M点电势  φ_M=$\frac{{E}_{pM}}{{Q}_{B}}$=3×10⁵V；
（4）在M点B球总势能为6J，根据能量守恒定律，当B的动能为零，总势能为10J，由曲线Ⅰ知B离A的最近距离为 x=2m．
  k$\frac{{Q}_{A}{Q}_{B}}{{x}^{2}}$-mg=ma  解得a=40m/s²，方向沿杆向上；
答：
（1）杆与水平面的夹角θ为30°；
（2）B球的带电量Q_B是1×10^-5C；  
（3）M点电势φ_M是3×10⁵V；
（4）若B球以E_k0=4J的初动能从M点开始沿杆向上滑动，B球运动过程中离A球的最近距离是2m，此时B球的加速度是40m/s²，方向沿杆向上．

点评 此题考查读图能量，注意选择合适的点，分析隐含的条件，同时要熟练应用牛顿运动定律和能量守恒解题．