Question

如图所示，斜面AB与竖直半圆轨道在B点圆滑相连，斜面倾角为θ=45°，半圆轨道的半径为R，一小球从斜面的顶点A由静止开始下滑，进入半圆轨道，最后落到斜面上，不计一切摩擦．试球：（结果可保留根号）．
（1）欲使小球能通过半圆轨道最高点C，落到斜面上，斜面AB的长度L至少为多大？
（2）在上述最小L的条件下，小球从A点由静止开始运动，最后落到斜面上的落点与半圆轨道直径BC的距离，x为多大？

Answer 1

分析：（1）由题意：小球恰好通过最高点C时，对轨道压力N=0，此时L最小．根据向心力公式求出C点速度，从A到C机械能守恒，根据机械能守恒定律求出斜面AB的长度L；
（2）小球离开C点后做平抛运动，根据平抛运动的性质即可求解．

解答：解：（1）由题意：小球恰好通过最高点C时，对轨道压力N=0，此时L最小．
mg=m

vc2

R

vc=

gr

从A到C机械能守恒，mgLsinθ=mg(2R)+

1

2

m

v

2 c

；
∴L=

5 2

2

R
（2）落到斜面上时：
水平方向有：X=v_ct               
竖直方向有：y=

1

2

gt2
tanθ=

2R-y

x

解得：x=(

5

-1)R
答：（1）欲使小球能通过半圆轨道最高点C，落到斜面上，斜面AB的长度L至少为

5 2

2

R；
（2）在上述最小L的条件下，小球从A点由静止开始运动，最后落到斜面上的落点与半圆轨道直径BC的距离，x为(

5

-1)R．

点评：本题是圆周运动与平抛运动相结合的问题，主要考查了圆周运动及平抛运动的基本公式，并结合机械能守恒解题，难度适中．