Question

8．广州中山大道、广州大道等路段设置了“绿波带”，根据车辆运行情况对各路口红绿灯进行协调，使车辆通过时能连续获得一路绿灯．设一路上某直线路段每间隔L=500 m就有一个红绿灯路口，绿灯时间△t₁=50 s，红灯时间△t₂=40 s，而且下一路口红绿灯亮起总比当前路口红绿灯滞后△t=50s．要求汽车在下一路口绿灯再次亮起后能通过该路口，汽车可看做质点，不计通过路口的时间，道路通行顺畅．
（1）若某路口绿灯刚亮起时，某汽车恰好通过，要使该汽车保持匀速行驶，在后面道路上再连续通过3个路口，汽车匀速行驶的最大速度是多少？最小速度又是多少？（计算结果保留两位有效数字）
（2）若某路口遭遇红灯，待绿灯刚亮起时，某汽车由静止开始，以加速度a=2 m/s²匀加速运动，加速到第（3）问中汽车匀速行驶的最大速度以后，便以此速度一直匀速运动．试通过计算判断，当该汽车到达下一个路口时能否遇到绿灯．

Answer 1

分析 （1）若汽车刚好在绿灯亮起时通过第3个路口，求出汽车通过3个路口的时间 t=3△t，此时匀速运动的速度最大，为v_max=$\frac{3L}{t}$．若汽车刚好在绿灯熄灭时通过第五个路口，通过五个路口的时间是 t′=3△t+△t₁，此时匀速运动的速度最小，为v_min=$\frac{3L}{t′}$．代入求解．
（2）若路口绿灯刚亮起时，汽车启动加速，最终加速到v_max，由速度公式求出加速的时间，并求得加速的位移．然后汽车以此速度匀速运动，求出匀速的时间，从而求出汽车从该路口开始启动到下一个路口的总时间，即可作出判断．

解答 解：（1）若汽车刚好在绿灯亮起时通过第3个路口，则通过3个路口的时间t=3△t
此时匀速运动的速度最大${v}_{max}^{\;}=\frac{3L}{t}=\frac{3×500}{3×50}m/s=10m/s$
若汽车刚好在绿灯熄灭时通过第五个路口，则通过五个路口的时间$t′=3△t+△{t}_{1}^{\;}=3×50+50=200s$
此时匀速运动的速度最小${v}_{min}^{\;}=\frac{3L}{t′}=\frac{3×500}{200}m/s=7.5m/s$
（2）若路口绿灯刚亮起时，汽车启动加速，最终加速到 ${v}_{max}^{\;}=10m/s$
所需时间${t}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{max}^{\;}}{a}=\frac{10}{2}s=5s$
在此过程中汽车走过的位移$x=\frac{{v}_{max}^{\;}}{2}{t}_{1}^{\;}=\frac{10}{2}×5=25m$
然后汽车以此速度匀速运动到下一路口所需时间
${t}_{2}^{\;}=\frac{L-x}{{v}_{max}^{\;}}=\frac{500-25}{10}=47.5s$
因此，汽车从该路口开始启动到下一个路口的时间为$t″={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=52.5s$
由于$△t＜t″＜△t+△{t}_{1}^{\;}$，即50＜52.5＜100，所以走到下个路口时能够遇到绿灯．  
答：（1）汽车匀速行驶的最大速度是10m/s，最小速度又是7.5m/s
（2）试通过计算判断，当该汽车到达下一个路口时能够遇到绿灯

点评 解决本题的关键要分析清楚汽车的运动情况，确定匀速运动速度最大和最小的临界条件，再由运动学公式解答．