Question

12．某航天飞机在地球赤道上空飞行，轨道半径为r，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω₀，地球半径为R，地球表面重力加速度为g．求：
（1）航天飞机的角速度．
（2）在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方（飞机高度低于同步卫星高度），求它下次通过该建筑物上方所需的时间．

Answer 1

分析 （1）根据地球表面重力等于万有引力列式；卫星受到的万有引力提供向心力，再次列式；联立求解即可；
（2）卫星下次通过该建筑物上方时比地球多转动一圈．

解答 解：（1）地球表面的物体重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得$GM=g{R}_{\;}^{2}$
根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$
解得：$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}_{\;}^{3}}}$
联立得$ω=\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}$
（2）根据题意飞机高度低于同步卫星高度，所以$ω＞{ω}_{0}^{\;}$，
$ωt-{ω}_{0}^{\;}t=2π$
解得：$t=\frac{2π}{ω-{ω}_{0}^{\;}}=\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}-{ω}_{0}^{\;}}$
答：（1）航天飞机的角速度$\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}$．
（2）在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方（飞机高度低于同步卫星高度），它下次通过该建筑物上方所需的时间$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g{R}_{\;}^{2}}{{r}_{\;}^{3}}}-{ω}_{0}^{\;}}$

点评 本题关键抓住万有引力提供向心力和地球表面重力等于万有引力列方程求解，同时明确匀速圆周运动中多转动一圈是多转动2π弧度．