Question

（2011?株洲二模）如图，竖直平面内有一直角坐标系xOy，在x≥0的区域内有一倾角为45°的绝缘光滑斜面，斜面末端O处用一极小的平滑曲面连接，恰能使斜面末端水平．在x≤0的广泛区域内存在正交的匀强磁场和匀强电场，磁场垂直于纸面向里，磁感应强度大小为B；电场沿竖直方向，场强大小为E．电荷量为-q的带电小球从绝缘光滑斜面上某点由静止开始下滑，小球经斜面末端O点进入电场和磁场，之后沿圆周运动，垂直于y轴离开电场和磁场，最后垂直打到斜面上．
求：
（1）小球从开始运动到垂直打到斜面上所用时间．
（2）小球开始下滑的初始位置坐标．

Answer 1

分析：（1）画出小球运动的轨迹，小球经过三个运动过程：1、由静止开始匀加速运动到斜面末端，由速度公式v₀=gsin45°t₁求出时间的表达式；2、在左侧复合场中做匀速圆周运动，半径为r=

mv0

qB

，时间t₂=

1

2

T=

πm

qB

；3、y轴离开电场和磁场后做平抛运动，垂直落到斜面时，v₀=v_ytan45°=gt₃，竖直方向位移为  2r-y₂=

1

2

g

t

2 3

，y₂=x₂=v₀t₃，联立解得各段时间，即可求出总时间．
（2）小球初始位置到斜面末端的距离为 l=

1

2

gsin45°

t

2 1

，由上求得t₁，即可求出位置的坐标．

解答：解：（1）小球运动的轨迹如图．初始位置（x₁，y₁），再次回到斜面的落点位置（x₂，y₂），小球经时间t₁运动到末端的速度为v₀，则
  t₁=

v0

gsin45°

  ①
小球在复合场中做匀速圆周运动，则有  mg=qE   ②
轨道半径为  r=

mv0

qB

  ③
运动时间为 t₂=

1

2

T=

πm

qB

 ④
小球离开电磁场后做平抛运动，经时间t₃垂直落到斜面时
    v₀=v_ytan45°=gt₃   ⑤
2r-y₂=

1

2

g

t

2 3

   ⑥
y₂=x₂=v₀t₃，⑦
由②③⑤⑥⑦得，t3=

4E

3gB

 ⑧v0=

4E

3B

  ⑨
由②④得，t₂=

πE

gB

  ⑩
由①⑨得，t1=

4 2 E

3gB

故小球从开始运动到垂直打到斜面上所用时间为t=t₁+t₂+t₃=（

4( 2 +1)

3

+π）

E

gB

．
（2）小球初始位置到斜面末端的距离为 l=

1

2

gsin45°

t

2 1

=

8 2 E2

9gB2

故  x₁=y₁=lsin45°=

8E2

9gB2

答：
（1）小球从开始运动到垂直打到斜面上所用时间为（

4( 2 +1)

3

+π）

E

gB

．．
（2）小球开始下滑的初始位置坐标（

8E2

9gB2

，

8E2

9gB2

）．

点评：本题的运动过程比较复杂，既要单独分析各段过程的运动情况，又抓住各过程之间的联系，这是解题的关键所在．