Question

如图所示，在第一象限有一沿-y方向的匀强电场，在x轴下方分布有两个匀强磁场区域（B₁、B₂大小未知，方向均垂直于xOy平面向外），以直线x=l为分界线一质量为m，电量为q的带电粒子以平行于x轴的速度v₀从y轴上P点射入电场后，在x轴上的Q点处进入磁场B₁区域；OP=

3

2

l，OQ=l；在x=l直线上有一点M，QM=l，现在QM之间放一绝缘弹性板，板长略小于l（不影响粒子在Q、M两点的运动），粒子
与板碰后反弹，沿板方向的分速度不变，垂直板的方向分速度与碰前大小相等方向相反，带电粒子电量不变、重力不计
（1）求粒子进入磁场时的速度大小和方向；
（2）粒子恰好从M点离开右侧磁场区域，求B₁大小的可能取值；
（3）粒子由M点进入左侧磁场区域后，不再打板，而是直接垂直穿过x轴上的N点，求粒子从P点运动到N点的过程中所用的时间．

Answer 1

分析：（1）粒子在电场中做类平抛运动，根据运动的合成与分解，结合牛顿第二定律与运动学公式，即可求解；
（2）根据题意可知，洛伦兹力提供向心力，做匀速圆周运动，结合几何关系，从而可求出运动的半径的可能值，进而即可求解；
（3）根据类平抛运动的规律，即可求出运动的时间，再由匀速圆周运动的周期公式与圆心角，从而可求出运动的时间，最后由几何关系，确定运动的半径，从而可求出磁场，进而确定运动的时间，最终可求出粒子从P点运动到N点的过程中所用的时间．

解答：解：（1）粒子做类平抛运动，运动可分解成x与y轴两方向，
x方向，因l=v₀t₁；
解得：t₁=

l

v0

y方向，又

3

2

l=

1

2

a

t

2 1

；
从而可求出v_y=at₁=

3 v 2 0

l

×

l

v0

=

3

v0
因此粒子进入磁场时的速度大小v=

v 2 x + v 2 y

=2v0；
而方向设为θ，则有：sinθ=

3

2

；即θ=60°；
（2）由题意可知，粒子恰好从M点离开右侧磁场区域，则粒子偏转角为60°，所以粒子做匀速圆周运动的半径R=

l

n

（n=1，2，3，…），
再由洛伦兹力提供向心力，则有：q?2v₀B₁=m

(2v0)2

R

；
解得：R=

m?2v0

B1q

；
所以，B₁=

2nmv0

ql

（n=1，2，3，…）
（3）粒子在磁场B₁中的运动时间，设为t₂，根据以上分析，则有：t₂=

T

6

；
而T=

2πm

B1q

所以，解得：t₂=

πl

6nv0

（n=1，2，3，…）；
根据粒子进入磁场B₂，的偏转角，结合图形的运动轨迹，可知，粒子在磁场B₂的运动半径，r=

l

sin30°

=2l；
因此由半径公式，r=

m?2v0

B2q

；
又周期公式，T′=

2πm

B2q

；
则有，运动的时间，t₃=

5

6

T′
综合求解，t₃=

5πl

3v0

；
所以粒子从P点运动到N点的过程中所用的时间为t=t₁+t₂+t₃=

l

v0

(

π

6n

+

5π+3

3

)（n=1，2，3，…）；
答：（1）求粒子进入磁场时的速度大小2v₀和方向与x轴夹角为60°；
（2）粒子恰好从M点离开右侧磁场区域，B₁大小的可能取值B₁=

2nmv0

ql

（n=1，2，3，…）；
（3）粒子由M点进入左侧磁场区域后，不再打板，而是直接垂直穿过x轴上的N点，粒子从P点运动到N点的过程中所用的时间

l

v0

(

π

6n

+

5π+3

3

)（n=1，2，3，…）．

点评：考查粒子在电场中做类平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动，掌握处理两种运动的物理规律，理解牛顿第二定律与运动学公式及向心力表达式，注意画出正确的运动轨迹图是解题的关键．