Question

6．2013年12月2日1时30分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号乙”运载火前，成功将“嫦娥三号”探测飞船升空，展开奔月之旅．“嫦娥三号”首次实现月面巡视勘察和月球软着陆，为我国探月工程开启新的征程．设载着登月舱的探测飞船在以月球中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上运行时，周期为T₁．随后登月舱脱离飞船，变轨到离月球更近的半径为r₂的圆轨道上运行．引力常为G，则下列说法正确的是（　　）

• A． 登月舱在半径为r₂的圆轨道上比在半径为r₁的圆轨上运行时的角速度大
• B． 登月舱在半径为r₂的圆轨道上比在半径为r₁的圆道上运行时的线速度大
• C． 月球的质量为$\frac{{4{π^2}r_1^3}}{GT_1^2}$
• D． 登月舱在半径为r₂的圆轨道上运行时的周期为${\;}^3\sqrt{{\frac{r_2^2T_1^3}{r_1^2}}}$

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力，得到卫星的速度公式，分析登月舱在两种轨道上速度的大小．由v=ωr，分析角速度的关系；
根据万有引力等于向心力，由万有引力定律和向心力公式列式，可求出月球的质量．根据开普勒第三定律，化简可得登陆舱在半径为r₂轨道上的周期．

解答 解：A、万有引力提供登月舱做圆周运动的向心力，由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mω²r，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，可知卫星的轨道半径越小，角速度和线速度越大，所以登月舱在半径为r₂的圆轨道上比在半径r₁的圆轨道上运动时的角速度、线速度都大，故AB正确．
C、登月舱在半径为r₁的圆轨道上运动时，由G$\frac{Mm}{{r}_{1}^{2}}$=m（$\frac{2π}{{T}_{1}}$）²r₁，则得月球的质量为：M=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}^{3}}{G{T}_{1}^{2}}$，故C正确．
D、根据开普勒第三定律有：$\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}_{2}^{2}}$=$\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}$，可得：T₂=$\sqrt{\frac{{r}_{2}^{3}}{{r}_{1}^{3}}}$T₁，故D错误．
故选：ABC．

点评 本题是典型的天体运动的问题，根据万有引力提供向心力是解决这类问题常用思路，要能根据题目的要求熟练选择不同的向心力的表达式．