Question

一名宇航员抵达某星球后，测得：①载人飞船环绕该星球表面n圈所用的时间为t；②摆长为l的单摆在该星球上的周期为T．已知万有引力恒量为G，不计阻力．试根据题中所提供的条件和测量结果，求：
（1）环绕该星球飞行的卫星的最小周期；
（2）该星球的密度；
（3）该星球的第一宇宙速度是多大？

Answer 1

分析：（1）根据题意求出载人飞船绕星球表面做圆周运动的周期，该周期是飞船绕星球运动的最小周期；
（2）载人飞船绕星球做圆周运动的向心力由万有引力提供，由牛顿第二定律列方程可以求出星球的质量，然后由密度公式求出星球的密度；
（3）由单摆的周期公式求出星球表面的重力加速度，星球表面的物体受到的重力等于万有引力，
绕星球表面做圆周运动的速度是第一宇宙速度，根据万有引力公式列方程，求出该星球的第一宇宙速度．

解答：解：（1）载人飞船绕星球表面运动时，轨道半径最小，周期最小，
由题意知，环绕该星球飞行的卫星的最小周期T_最小=

t

n

；
（2）设星球的质量为M，半径是R，载人飞船质量是m，载人飞船绕星球表面做圆周运动，
轨道半径等于星球半径，载人飞船绕星球做匀速圆周运动的向心力由万有引力提供，
由牛顿第二定律得：G

mM

R2

=m(

2π

t n

)2R，
星球质量M=

4π2n2R3

Gt2

    ①，
星球的密度ρ=

M

V

=

4π2n2R3 Gt2

4 3 πR3

=

3πn2

Gt2

；
（3）单摆的周期T=2π

l g

，
则星球表面的重力加速度g=

4π2l

T2

，
位于星球表面的物体m′受到的重力等于万有引力，
即：m′g=G

Mm′

R2

，则GM=gR² ②，
由①②得：R=

gt2

4π2n2

   ③；
卫星绕星球表面做圆周运动时，即轨道半径等于星球半径时的速度是第一宇宙速度，
万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：
G

Mm

R2

=m

v2

R

，
v=

GM R

=

gR2 R

=

gR

=

g× gt2 4π2n2

=g

t

2πn

=

4π2l

T2

×

t

2πn

=

2πlt

nT2

；
答：（1）环绕该星球飞行的卫星的最小周期是

t

n

．
（2）该星球的密度是

3πn2

Gt2

．
（3）该星球的第一宇宙速度是

2πlt

nT2

．

点评：卫星绕行星表面做圆周运动的速度是第一宇宙速度，卫星做圆周运动时，万有引力提供向心力，解题时注意单摆周期公式的应用，注意黄金代换的应用．