Question

15．如图所示，将一半径为R的细圆管截去$\frac{1}{4}$后竖直放置，让一光滑小球在A管口的正上方由静止释放．
（1）让小球从B管口出来后能刚好落到A管口，则小球需从离A多高的地方释放？
（2）小球在最高点B时受到管对它的作用力是多大？方向向哪？

Answer 1

分析 （1）小球从B点飞出后做平抛运动，由平抛运动的规律可以求得小球经过在B点的速度，再由机械能守恒定律可以求得释放点距A点的高度h．
（2）在B点，由合力提供向心力，由牛顿定律求小球对管道的作用力．

解答 解：（1）从静止释放到到达B点的过程中，机械能守恒，设小球在B点获得速度v_B，设小球是从离A点H高处开始释放的．
以A点为零势面，则由机械能守恒定律有：$mgH=mgR+\frac{1}{2}mv_B^2$
小球由B点平抛到A点，有：
水平方向 R=v_B t
竖直方向 R=$\frac{1}{2}$gt²；
由以上三方程可解得：H=$\frac{5}{4}$R．
（2）由上得，小球在B点的速度为：v_B=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$＜$\sqrt{gR}$
说明小球在最高点时受到管道对它向上的支持力，由牛顿第二定律得：
mg-N=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：N=$\frac{1}{2}$mg
由牛顿第三定律知，小球在最高点B时受到管对它的作用力大小 N′=N=$\frac{1}{2}$mg，方向竖直向下．
答：（1）让小球从B管口出来后能刚好落到A管口，则小球需从离A$\frac{5}{4}$R高的地方释放．
（2）小球在最高点B时受到管对它的作用力$\frac{1}{2}$mg，方向竖直向下．

点评 在做题时一定要理解题目中“刚好落到A管口”这句话的含义，掌握平抛运动的规律，运用机械能守恒定律研究高度是常用的方法．