Question

如图所示，倾角θ=37°的传送带上，上、下两端相距S=7m．当传送带以u=4m/s的恒定速率逆时针转动时，将一个与传送带间动摩擦因数μ₁=0.25的物块P轻放于A端，求：
（1）P从A端运动到B端所需的时间是多少？
（2）若传送带顺时针以相同速率转动，P从A端运动到B端的时间又是多少？
（3）B端恰与一水平足够长木板相连，且与物块动摩擦因数μ₂=0.2，在（1）（2）两问中物体在水平面滑行的距离分别为多少？（忽略物体在连接处速率变化，重力加速度取g=10m/s²．）

Answer 1

解：（1）当传送带以u=4m/s的恒定速率逆时针转动时，根据牛顿第二定律得
mgsinθ-μmgcosθ=ma₁，
得a₁=gsinθ-μgcosθ
代入解得，a₁=4m/s²．
由S=得，t₁=s
（2）当传送带顺时针转动时，设P初始下滑的加速度为a₂，
则有mgsinθ+μmgcosθ=ma₂
解得：a₂=gsinθ+μgcosθ=8m/s²
当P加速到u=4m/s时P对地发生的位移S1==1m＜7m 此后P，继续加速下滑，
设加速度为a′₂，
有mgsinθ-μmgcosθ=ma′₂
所以 a′₂=4m/s²
滑到B端时的速度 υ₂==8m/s
前一段加速滑下时间 t₂==0.5s
后一段加速滑下时间 t₃==s=1s
P从A到B总时间 t=t₂+t₃=1.5s
（3）第1问中物体刚到达B时速度大小为v₁=a₁t₁=2m/s，则由动能定理得
-μmgx₁=0-，解得，x₁=14m
第1问中物体刚到达B时速度大小为υ₂=8m/s，则由动能定理得
-μmgx₂=0-，解得，x₂=16m
答：（1）P从A端运动到B端所需的时间是s．
（2）若传送带顺时针以相同速率转动，P从A端运动到B端的时间是1.5s．
（3）在（1）（2）两问中物体在水平面滑行的距离分别为14m和16m．
分析：（1）当传送带以u=4m/s的恒定速率逆时针转动时，物体放到传送带上时受到沿传送带向上的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律求解加速度，由位移公式求解时间；
（2）若传送带顺时针以相同速率转动，物体刚放上传送带时受到重力、支持力和沿斜面向下的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律求解出加速度，再根据运动学公式求出速度与传送带相等时所用的时间；当物体速度增大到等于传送带速度后，由于重力的下滑分力大于滑动摩擦力，故物体继续加速下滑，根据牛顿第二定律求出加速度后，再次根据运动学公式列式求出，得到总时间．
（3）根据上两问求出物体滑到水平面上的速度，由动能定理求出物体在水平面滑行的距离．
点评：本题关键分析清楚物体的运动情况，根据牛顿第二定律求解出两段加速过程的加速度，再根据运动学公式列式求解． 特别第二种情况下，开始传送带速度大于物体，则传送带给物体的有沿传送带向下的滑动摩擦力；当物体速度大于传送带时，受到传送带沿带向上的滑动摩擦力．