Question

1．一个垂直纸面向里的有界匀强磁场形状如图所示，磁场宽度为d，在垂直B的平面内的A点，有一个电量为-q、质量为 m、速度为v的带电粒子进入磁场，请问其速度方向与磁场边界的夹角为多少时粒子穿过磁场的时间最短？

Answer 1

分析 粒子穿过磁场，是指从右侧离开磁场，对应的弧长最短时用时最短，画出运动轨迹，结合几何关系列式求解圆弧对应的圆心角，得到其初速度方向与磁场边界的夹角．

解答 解：对粒子，洛仑兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
$qvB=m\frac{v^2}{r}$
解得：$r=\frac{mv}{qB}$
当圆弧对应的弦长最短时，穿越磁场时间最短，轨迹如图所示：

结合几何关系，有：
tanθ=$\frac{\frac{d}{2}}{r}=\frac{d}{2r}$
α=$\frac{π}{2}-θ$
联立解得：
α=$\frac{π}{2}-arctan\frac{dmv}{2qB}$
答：初速度方向与磁场边界的夹角为$\frac{π}{2}-arctan\frac{dmv}{2qB}$时粒子穿过磁场的时间最短．

点评 本题关键是明确当粒子轨迹对应的圆弧最短，即轨迹圆弧对应的弦长最短时，粒子穿越磁场的时间最短，画出轨迹，结合几何关系、牛顿第二定律列式求解，基础题目．