Question

7．如图所示，半径分别为R和r（R＞r）的甲、乙两光滑圆轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一光滑水平轨道CD相连，在水平轨道CD上有一轻弹簧被a、b两个小球夹住，但不拴接．同时释放两小球，a、b恰好分别通过甲、乙圆轨道的最高点．试求：
（1）小球a通过圆轨道甲的最高点时的速度．
（2）己知小球a的质量为m，求小球b的质量．
（3）若m_a=m_b=m，且要求a、b都还能分别通过甲、乙圆轨道的最高点，则弹簧在释放前至少应具有多大的弹性势能？

Answer 1

分析 （1）两球均恰能通过最高点，这是一个临界状态，此刻球的速度最小，满足重力提供向心力，由此可求出到最高点的速度．
（2）释放弹簧前后，由于无机械能与其他能的转化，所以机械能守恒，动量守恒．由两个守恒列式能求出b球的质量．
（3）由能量守恒，弹簧具有的弹性势能就为两个球在最高点的机械能总和，由此可求出弹簧在释放前至少应具有多大的弹性势能．

解答 解：（1）小球在最高点受重力，弹力（方向均竖直向下），当小球a恰能通过圆轨道甲的最高点时，弹力为零，则有：$mg=m\frac{{v}_{a}{′}^{2}}{R}$
得：${v}_{a}′=\sqrt{gR}$
（2）同样道理，小球b通过圆轨道乙的最高点时，由${m}_{b}g={m}_{b}\frac{{v}_{b}{′}^{2}}{r}$得：${v}_{b}′=\sqrt{gr}$
 设两小球离开 弹簧瞬间的速度分别为v_a、v_b，由机械能守恒定律有：
  $\frac{1}{2}m{{v}_{a}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{a}{′}^{2}+mg•2R$
  $\frac{1}{2}{m}_{b}{{v}_{b}}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{b}{{v}_{b}′}^{2}+{m}_{b}g•2r$
  解得：v_a=$\sqrt{5gR}$，v_b=$\sqrt{5gr}$
  又由动量守恒定律有：$m•\sqrt{5gR}={m}_{b}\sqrt{5gr}$
  解得：m_b=$\sqrt{\frac{R}{r}}m$
（3）当m_a=m_b=m时，V_a=V_b，又由（1）（2）知，小球a能通过圆轨道甲的最高点，在刚离开弹簧时的速度条件为：${v}_{a}≥\sqrt{5gR}$，
故弹簧释放前至少具有的弹簧势能为：E_p=$2×\frac{1}{2}m（\sqrt{5gR}）^{2}=5mgR$
答：（1）小球a通过圆轨道甲的最高点时的速度为$\sqrt{gR}$．
（2）己知小球a的质量为m，小球b的质量为$\sqrt{\frac{R}{r}}m$．
（3）若m_a=m_b=m，且要求a、b都还能分别通过甲、乙圆轨道的最高点，则弹簧在释放前至少应具有5mgR的弹性势能．

点评 本题考察的是动量守恒和机械能守恒的特殊情况，综合圆周运动向心力的临界状态．这里要注意的是不能把最高点的速度看成是零，这样的话小球到不了最高点时速度已经变为零了．