Question

19．神秘的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律．天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成，两星可视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．
（1）可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂，试求m′（用m₁、m₂表示）；
（2）已知A的质量m₁，暗星B的质量m₂，引力常量为G，由观测能够得到可见星A的运行速率v，求：可见星A运行周期T．

Answer 1

分析 （1）抓住A、B做圆周运动的向心力相等，角速度相等，求出A、B轨道半径的关系，从而得知A、B距离为A卫星的轨道半径关系，可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，根据万有引力定律公式求出质量m′．
（2）根据万有引力提供向心力由暗星B的质量m₂与可见星A的速率v、求运行周期T．

解答 解：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r₁、r₂，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速相同，设为ω．由牛顿运动定律，有
${F}_{A}={m}_{1}{r}_{1}{ω}^{2}={m}_{2}{r}_{2}{ω}^{2}$
A、B之间的距离r=r₁+r₂
由万有引力定律，有 F_A=$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}=G\frac{{m}_{1}m′}{{r}_{1}^{2}}$
由以上各式可解得：m′=$\frac{{m}_{2}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$
（2）由牛顿第二定律，有$G\frac{{m}_{1}m′}{{r}_{1}^{2}}={m}_{1}\frac{{v}^{2}}{{r}_{1}}$
可见星A的周期T=$\frac{2π{r}_{1}}{v}$   
解得：T=$\frac{2πG{m}_{2}^{3}}{{v}^{3}（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$
答：（1）可见星A所受暗星B的引力F_A可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m₁、m₂，m′的表示式为$\frac{{m}_{2}^{3}}{（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$；
（2）已知A的质量m₁，暗星B的质量m₂，引力常量为G，由观测能够得到可见星A的运行速率v，可见星A运行周期T为$\frac{2πG{m}_{2}^{3}}{{v}^{3}（{m}_{1}+{m}_{2}）^{2}}$．

点评 本题是双子星问题，关键抓住双子星所受的万有引力相等，转动的角速度相等，根据万有引力定律和牛顿第二定律综合求解．