Question

7．如图所示，质量为M=9kg的足够长的木板放在光滑的水平面上，质量为m=1kg的可看成质点的滑块处在木板的最左端，开始木板与滑块以共同速度v₀=1m/s向右匀速运动，设滑块与木板间的动摩擦因数为μ=0.1，g取10m/s²
（1）若某时刻起给M作用一个水平向左F₁=5N的恒力，由牛顿定律可知，此时滑块与木板保持相对静止，求经过多长时间木板与滑块速度为零？
（2）若某时刻起给M作用一个水平向左F₂=20N的恒力，由牛顿定律可知，此时滑块与木板将相对滑动，一段时间后撤去F₂，再经过一段时间木块与滑块都静止，求F₂的作用时间与F₂开始作用起到最后停下为止滑块运动的总时间？

Answer 1

分析 （1）系统受到水平向左的F₁=5N的恒力作用，总动量发生变化，由动量定理，即可求出作用的时间；
（2）系统受到水平向左的F₂=20N的恒力作用，总动量发生变化，由动量定理，即可求出作用的时间；由牛顿第二定律，分析当撤去力的时刻，M的速度与m的速度，然后结合牛顿第二定律与运动学的公式求出m运动的时间，两段时间的和等于总时间．

解答 解：（1）以木板与滑块组成的系统为研究的对象，初动量：P₀=（M+m）v₀=（9+1）×1=10kg•m/s；
木板与滑块速度为零时的动量也是0，以向右的方向为正方向，则：-F₁t₀=0-P₀
代入数据得：t₀=2s
（2）由于地面是光滑的，用一个水平向左F₂=20N的恒力作用在系统上，当它们的速度都是0时：-F₂t₁=0-P₀
代入数据得：t₁=0.5s
滑块受到的摩擦力：f=μmg=0.1×1×10N=1N
滑块与木板相对滑动的过程中的加速度：${a}_{1}=\frac{-f}{m}=\frac{-1}{1}m/{s}^{2}=-1m/{s}^{2}$
当t=0.5s时，滑块的速度：v₁=v₀+a₁t₁=1+（-1）×0.5=0.5m/s
木板的加速度：${a}_{2}=\frac{-{F}_{2}+f}{M}=\frac{-20+1}{9}m/{s}^{2}=-\frac{19}{9}$m/s²
当t=0.5s时，木板的速度：${v}_{2}={v}_{0}+{a}_{2}{t}_{1}=-\frac{1}{18}$m/s，负号表示M的速度方向向左；
此时滑块的动量：P₁=mv₁=1×0.5=0.5kg•m/s
木板的动量：${P}_{2}=M{v}_{2}=9×（-\frac{1}{18}）=-0.5$kg•m/s
二者的总动量：P₁+P₂=0
由于木板和滑块在光滑的地面上滑动，所以撤去拉力后二者沿水平方向的动量守恒，二者的初动量是0，末动量也是0，可知二者在相反的方向上，都一直做匀减速运动，直到停止．其中滑块的加速度不变，设再运动时间t₂停止，则：
0=v₁+a₁t₂
所以：${t}_{2}=\frac{-{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{-0.5}{-1}s=0.5$
滑块运动的总时间：t=t₁+t₂=0.5s+0.5s=1s
答：（1）若某时刻起给M作用一个水平向左F₁=5N的恒力，经过2s时间木板与滑块速度为零；
（2）若某时刻起给M作用一个水平向左F₂=20N的恒力，F₂的作用时间是0.5s；F₂开始作用起到最后停下为止滑块运动的总时间是1s．

点评 本题涉及两个物体的动力学问题，除了隔离研究两个物体的运动情况外，关键是找出两个物体之间的速度关系．