Question

13．如图所示，足够长的光滑U形导体框架的宽度L=0.40m，电阻忽略不计，其所在平面与水平面所成的角α=37°，磁感应强度B=1.0T的匀强磁场方向垂直于框平面．一根质量为m=0.20kg、有效电阻R=1.0Ω的导体棒MN垂直跨放在U形框架上，导体棒从静止开始沿框架下滑到刚开始匀速运动时，通过导体棒截面电量共为Q=2.0C．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）求：
（1）导体棒的最大加速度和最大电流强度的大小和方向？
（2）导体棒在0.2s内在框架所夹部分可能扫过的最大面积？
（3 ）导体棒从开始下滑到刚开始匀速运动这一过程中，导体棒的有效电阻消耗的电功？

Answer 1

分析 （1）当速度为零时，加速度最大，根据牛顿第二定律求出最大加速度，当加速度为零时，速度最大，电流最大，根据平衡求出最大电流的大小．
（2）由安培力公式求出安培力，然后由平衡条件求出导体棒的最大速度，再求出0.2s内扫过的最大面积．
（3）由法拉第电磁感应定律求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由电流定义式求出电荷量，然后求出导体棒下滑的距离，然后由能量守恒定律求出导体棒消耗的电功．

解答 解：（1）MN杆速度为零时，加速度最大，
a=$\frac{mgsin37°}{m}=gsin37°=6m/{s}^{2}$，加速度方向沿斜面向下．
MN杆速度最大时，电流最大，
有：mgsin37°=BIL，
代入数据解得I=3A，电流的方向由N→M．
（2）MN杆匀速运动时有最大速度，
I=$\frac{BL{v}_{m}}{R}$，
代入数据解得v_m=7.5m/s，
MN杆速度最大时，在0.2s内扫过的最大面积S=Lv_m△t=0.4×7.5×0.2m²=0.6m²．
（3）设MN杆从开始下滑到刚开始匀速运动这一过程中下滑的位移为d，通过导体横截面电量
Q=$\overline{I}△t$，$\overline{I}=\frac{\overline{E}}{R}$，
而平均感应电动势$\overline{E}=\frac{△Φ}{△t}$，△Φ=BLd，
解得d=$\frac{QR}{BL}$=$\frac{2×1}{1×0.4}$m=5m．
设导体棒的有效电阻消耗的电功为W，由动能定理得，
$mgdsin37°-W=\frac{1}{2}m{{v}_{m}}^{2}$，
代入数据解得W=0.375J．
答：（1）导体棒的最大加速度为6m/s²，方向沿斜面向下；最大电流强度为3A，方向由N→M．
（2）导体棒在0.2s内在框架所夹部分可能扫过的最大面积为0.6m²．
（3）导体棒的有效电阻消耗的电功为0.375J．

点评 本题考查了求面积、消耗的电能问题，分析清楚金属棒的运动过程，应用安培力公式、平衡条件、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、电流定义式、能量守恒定律即可正确解题，本题有一定的难度．