Question

如图所示，两根完全相同的光滑金属导轨OP、OQ固定在水平桌面上，导轨间的夹角为θ=74°，导轨单位长度的电阻为r₀=0.1Ωm．导轨所在空间有垂直于桌面向下的匀强磁场，且磁场随时间均匀变化，磁场的磁感应强度B与时间t的关系为B=

k

t

，其中比例系数k=2T?s．将电阻不计的金属杆MN放置在水平桌面上，在外力作用下，t=0时刻金属杆以恒定速度v=2m/s从O点开始向右滑动．在滑动过程中保持MN垂直于两导轨间夹角的平分线，且与导轨接触良好．（已知导轨和金属杆杆均足够长，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）在t=6.0s时，回路中的感应电动势的大小；
（2）在t=6.0s时，金属杆MN所受安培力的大小；
（3）在t=6.0s时，外力对金属杆MN所做功的功率．

Answer 1

分析：（1）先求出t=6s时导体棒的有效切割长度，求出切割产生的动生电动势；根据法拉第电磁感应定律求出感生电动势，再根据两个电动势的关系，求出回路中的总感应电动势的大小．
（2）由闭合电路欧姆定律求出电流强度的大小，由F=BIL求安培力大小．
（3）当导体棒做匀速直线运动时，水平外力等于安培力，根据平衡条件求出水平拉力，导体棒内电流大小恒定，外力对金属杆MN所做功的功率等于克服安培力的功率．

解答：解：（1）经时间t时，金属杆MN切割磁感线的有效长度为 L=2vttan

θ

2

=3t…①
回路所围的面积为S=

vtL

2

=3t2…②
回路的总电阻为R=

2vtr0

cos θ 2

=0.5t…③
金属杆MN切割磁感线产生感应电动势大小为：E₁=Blv=12V…④，产生感应电流的方向为逆时针．
设t₁、t₂为t的前后时刻，在（t₂-t₁）时间内回路磁通电量变化为：△?=(

k

t2

)(3

t

2 2

)-(

k

t1

)(3

t

2 1

)=6(t2-t1)…⑤
则由此根据法拉第电磁感应定律可知产生的感应电动势大小为：E2=

△?

△t

=

△?

t2-t1

=6V…⑥
根据楞次定律可判断其感应电动势产生感应电流的方向也为逆时针
由④⑥两式可得回路中的感应电动势的大小E=E₁+E₂=18V…⑦
（2）金属杆MN所受安培力的大小为 F_安=BIL…⑧
由闭合电路欧姆定律可知回路中的电流 I=

E

R

…⑨
联立③⑦⑨得 F_安=36N…⑩
（3）外力对金属杆MN所做的功率为P_外=F_外v  （11）
由于金属杆MN以恒定速度向右滑动，有F_外=F_安，（12）
联立⑩（11）（12）得P_外=72W
答：
（1）在t=6.0s时，回路中的感应电动势的大小是18V；
（2）在t=6.0s时，金属杆MN所受安培力的大小是36N；
（3）在t=6.0s时，外力对金属杆MN所做功的功率是72W．

点评：本题是动生电动势和感生电动势同时产生的问题，要知道这两个电动势分别由切割式：E=BLv和法拉第电磁感应定律求解，并由楞次定律判断两者方向关系，求回路总电动势．