Question

2．如图所示，为楼层间运送物体的传送装置，浅色传送带的水平部分ab=3.2m，斜面部分bc=7.5625m，bc与水平面的夹角θ=37°．一煤块A与传送带的动摩擦因数始终为μ=0.25，传送带沿图示的方向运动，速率v=5m/s．若把煤块A轻放到a处，它将被传送带送到c点，且煤块A不会脱离传送带，煤块A相对传送带滑动时会在传送带上留下黑色痕迹．求煤块A从a点被传送到c点在传送带上留下黑色痕迹的长度．（已知：sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g=10m/s²）

Answer 1

分析 根据牛顿第二定律求出小物块的加速度，并求出当物块的速度达到5m/s时的位移，判断出物体的运动情况，从而求出小物块从a端被传送到b端所用的时间．A在bc段将沿倾斜部分加速下滑，此时A受到的为滑动摩擦力，大小为 μmgcos37°，方向沿传送带向上，由牛顿第二定律求出加速度，在ab段与bc段都会留下痕迹，但ab段传送带快，bc段分两部分，传送带速度大于煤块速度和煤块速度大于传送带速度，所留痕迹的长度即可求解

解答 解：煤块在ab段运动时的加速度为：a₁=μg=2.5m/s²
达到传送带的速度时的时间为：${t}_{1}=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{5}{2.5}s=2s$
此段时间内所走过的位移：${x}_{0}=\frac{1}{2}{{a}_{1}t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×2.5×{2}^{2}m=5m$＞3.2m
到达B点的速度为：${v}_{B}=\sqrt{2{a}_{1}ab}=\sqrt{2×2.5×3.2}m/s=4m/s$
所需时间为：$t′=\frac{{v}_{B}}{{a}_{1}}=\frac{4}{2.5}s=1.6s$
传送前进的位移为：x₂=vt′=5×1.6s=8m
产生的痕迹为：△x₁=x₂-ab=8-3.2m=4.8m
在bc段，当煤块刚滑到bc段时，传送带速度大于煤块速度，受力分析正交分解得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₂
解得：a₂=gsinθ+μgcosθ=10×0.6+0.25×10×0.8m/s²=8m/s²
达到共同速度所需时间为：${t}_{2}=\frac{v-{v}_{B}}{{a}_{2}}=\frac{5-4}{8}s=\frac{1}{8}s$
传送带前进的位移为：${x}_{3}=vt′=\frac{5}{8}m$
煤块前进位移为：${x}_{4}={v}_{B}t′+\frac{1}{2}{a}_{2}t{′}^{2}=4×\frac{1}{8}+\frac{1}{2}×8×{（\frac{1}{8}）}^{2}m$=$\frac{9}{16}m$
此过程又产生的痕迹为：$△{x}_{2}={x}_{3}-{x}_{4}=\frac{1}{16}m$
痕迹长度为：△x=△x₁+△x₂=4.8+0.0625m=4.8625m
达到共同速度后煤块的加速度为：mgsinθ-μmgcosθ=ma₃
解得：a₃=gsinθ+μgcosθ=10×0.6-0.25×10×0.8m/s²=4m/s²
设经过时间t₃滑到底端，在此过程中煤块的位移为：x₅=bc-x₄=7m
${x}_{5}=v{t}_{3}+\frac{1}{2}{{a}_{3}t}_{3}^{2}$
联立解得：t₃=1s或t₃=3.5s（舍去）
在1s内传送带前进的位移为：x₆=vt₃=5m
产生的痕迹长度为：△x₃=bc-x₆=2m＜4.8625m
答：煤块A从a点被传送到c点在传送带上留下黑色痕迹的长度为4.8625m

点评 本题是动力学问题，关键根据加速度方向与速度方向的关系，理清物体的运动情况，运用牛顿第二定律和运动学公式求解，要注意思路清晰，运算准确