Question

如图所示,半径为R的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合.转台以一定角速度ω匀速旋转,一质量为m的小物块落入陶罐内,经过一段时间后,小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止,它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g.

(1)若ω=ω₀,小物块受到的摩擦力恰好为零,求ω₀;

(2)若ω=(1±k)ω₀,且0<k≪1,求小物块受到的摩擦力的大小和方向.

Answer 1

解析:(1)当ω=ω₀时,小物块只受重力和支持力作用,如图(甲)所示,其合力提供向心力,

 

F_合=mgtan θ①

F=mr②

而r=Rsin θ,F_合=F③

由①②③得ω₀=.④

(2)当ω=(1+k)ω₀,且0<k≪1时,所需要的向心力大于ω=ω₀时的向心力,故摩擦力方向沿罐壁的切线方向向下.建立如图(乙)所示坐标系.

 

在水平方向上:Nsin θ+fcos θ=mω²r⑤

在竖直方向上:Ncos θ-fsin θ-mg=0⑥

由几何关系知r=Rsin θ⑦

联立⑤⑥⑦式,解得f=mg⑧

当ω=(1-k)ω₀时,摩擦力的方向沿罐壁的切线方向向上.建立如图(丙)所示的坐标系.

在水平方向上:

Nsin θ-fcos θ=mω²r⑨

在竖直方向上:Ncos θ+fsin θ-mg=0

由几何关系知r=Rsin θ

联立⑨式,解得f=mg.

答案:见解析