Question

19．一只皮球从高为5m处自由下落，着地后竖直向上反跳，上跳时离地速率等于着地速率的$\frac{3}{4}$，以后每一次反跳的速率都等于前次着地速率的$\frac{3}{4}$．那么这皮球从开始下落到静止于地面经历的时间是（g取10m/s²）（　　）

• A． 5s
• B． 6s
• C． 7s
• D． 8s

Answer 1

分析 皮球做往复运动，每个回合分自由下落和竖直上抛两个子过程，根据运动学公式逐次求出皮球下落1次、2次…时撞地前瞬间的速度、下落时间和上升时间，总结规律，得到皮球在地第n次反弹在空中运动的时间，运用数学知识求总时间．

解答 解：设皮球原来距地高度为h，第一次撞地前速度为v₀，下落时间为t₀．
则有：v₀=$\sqrt{2gh}$=10m/s，t₀=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=1s
第一次撞地后：v₁=$\frac{3}{4}$v₀，反弹后空中运动时间为：t₁=$\frac{2{v}_{1}}{g}$=2×$\frac{{v}_{1}}{g}$=2×$\frac{3}{4}$s
第二次撞地后：v₂=$\frac{3}{4}$v₁=$（\frac{3}{4}）^{2}{v}_{0}$，反弹后空中运动时间为：${t}_{2}=2×[（\frac{3}{4}）^{2}×\frac{{v}_{0}}{g}]=2×（\frac{3}{4}）^{2}$s
…
由运动规律得：皮球在地n次反弹在空中运动的时间为：t_n=2×（$\frac{3}{4}$）ⁿ
所以皮球从开始下落的总时间为：T=t₀+t₁+t₂…+t_n=1+2×$\frac{3}{4}$+2×（$\frac{3}{4}$）²+…2×（$\frac{3}{4}$）ⁿ=1+2×$\frac{\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}$=1+6=7s
故选：C

点评 本题是物理中数列问题，考查运用数学知识解决物理问题的能力，关键要寻找时间存在的规律．