Question

7．在光滑绝缘的水平地面上方，有一个宽度为4L、磁感应强度大小为B的匀强磁场区域，如图所示，一个边长为L、质量为m、电阻为R的金属正方形单匝线圈abcd在水平拉力作用下，沿垂直磁场方向，以初速度v₁匀速进入磁场，当完全进入磁场后，撤去拉力，之后线圈ad边以速度v₂离开磁场，线圈离开磁场所用的时间为t．
（1）求线圈进入磁场过程中b、c两点间的电势差及水平拉力的大小．
（2）求线圈离开磁场过程中产生的电流的有效值．
（3）试证明v₁-v₂=$\frac{{B}^{2}{L}^{3}}{mR}$．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv可求得感应电动势，根据欧姆定律可求得电流，再根据共点力的平衡条件可求得拉力大小；
（2）根据功能关系可求得热量；再由焦耳定律可求得电流的有效值；
（3）根据牛顿第二定律可明确速度变化与力之间的关系，再由数学规律可证明．

解答 解：（1）线圈进入磁场过程中bc边产生的感应电动势为：
E=BLv₁
bc两点间的电势差U_bc=$\frac{3}{4}$E=$\frac{3BL{v}_{1}}{4}$
线圈中的电流I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL{v}_{1}}{R}$
因线圈匀速进入磁场，故F_拉=F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$
（2）线圈离开磁场过程中产生的热量Q=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₂²
设电流的有效值为I₁，由I₁²Rt=Q
得I₁=$\sqrt{\frac{m（{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}）}{2Rt}}$
（3）线圈离开磁场过程中某一时刻，由牛顿第二定律得：
BIL=ma
$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$=ma=m$\frac{△v}{△t}$
△v=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v△t}{mR}$
等式两边求和可得：
$\sum_{\;}^{\;}△v$=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}\sum_{\;}^{\;}v△t}{mR}$
得v₁-v₂=$\frac{{B}^{2}{L}^{3}}{mR}$
答：（1）求线圈进入磁场过程中b、c两点间的电势差及水平拉力的大小为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$．
（2）求线圈离开磁场过程中产生的电流的有效值为$\sqrt{\frac{m（{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}）}{2Rt}}$．
（3）证明如上．

点评 本题考查导体切割磁感线中的能量及受力分析问题，要注意明确物理过程，注意分析能量转化间的关系；再正确应用物理规律求解即可．