Question

7．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g₀；在赤道的大小为g；地球自转的周期为T；引力常量为G．则（　　）

• A． 地球的半径R=$\frac{{{（g}_{0}-g）T}^{2}}{4{π}^{2}}$
• B． 地球的半径R=$\frac{{{g}_{0}T}^{2}}{{4π}^{2}}$
• C． 地球的第一宇宙速度为$\frac{T}{2π}\sqrt{{g}_{0}{（g}_{0}-g）}$
• D． 地球的第一宇宙速度为 $\frac{T}{2π\sqrt{g{（g}_{0}-g）}}$

Answer 1

分析 质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力．根据万有引力定律和牛顿第二定律，在赤道的物体所受地球的引力等于其在两极所受的重力联立求半径，再由第一宇宙速度为v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，即可求解．

解答 解：AB、在两极地区，物体受到地球的万有引力，其大小为mg₀，在赤道处，地球对物体的万有引力大小仍为mg₀，
万有引力和重力的合力提供圆周运动向心力有即有：
m（g₀-g）=m$\frac{4{π}^{2}R}{{T}^{2}}$
解得：R=$\frac{（{g}_{0}-g）{T}^{2}}{4{π}^{2}}$，故A正确，B错误；
CD、质量为m的物体在两极所受地球的引力等于其所受的重力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg₀，
解得：M=$\frac{{g}_{0}（{g}_{0}-g）^{2}{T}^{4}}{16{π}^{4}G}$
那么地球的第一宇宙速度为v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\frac{T}{2π}\sqrt{{g}_{0}{（g}_{0}-g）}$，故C正确，D错误；
故选：AC．

点评 解决本题的关键是认识到在赤道处的重力实为地球对物体的万有引力减去物体随地球自转的向心力，掌握力的关系是正确解题的前提．