Question

（12分）如图所示，在水平轨道右侧安放半径为R的竖直圆槽形光滑轨道，水平轨道的PQ段铺设特殊材料，调节其初始长度为l．水平轨道左侧有一轻质弹簧左端固定，弹簧处于自然伸长状态．小物块A（可视为质点）从轨道右侧以初速度v₀冲上轨道，通过圆形轨道、水平轨道后压缩弹簧并被弹簧以原速率弹回，经水平轨道返回圆形轨道．
已知R=0.2m，l=1.0m，v₀=m/s，物块A质量为m=1kg，与PQ段间的动摩擦因数为μ=0.2，轨道其他部分摩擦不计，取g=10m/s²．求：

（1）物块A与弹簧刚接触时的速度大小．
（2）物块A被弹簧以原速率弹回返回到圆形轨道的高度．
（3）调节PQ段的长度l，A仍以v₀从轨道右侧冲上轨道，当l满足什么条件时，A物块能第一次返回圆形轨道且能沿轨道运动而不会脱离轨道．

Answer 1

（1）m/s（1分）；（2）返回到右边轨道的高度为。（1分）
（3）要使A物块能第一次返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，l满足的条件是  或 （1分）。

解析试题分析：（1）物块A冲上圆形轨道后回到最低点速度为v₀=m/s；
应用动能定理，与弹簧接触瞬间，有（1分）；
可得，物块A与弹簧刚接触时的速度大小m/s（1分）。
（2）A被弹簧以原速率弹回，向右经过PQ段，根据匀变速直线运动的规律有（1分）
得A速度   （1分）
当A滑上圆形轨道，根据机械能守恒定律有（1分）
（也可以应用 ）
可得，返回到右边轨道的高度为，符合实际。（1分）
（3）物块A以v₀冲上轨道直到回到PQ段右侧，有   
可得，A回到右侧速度 （1分）
要使A能返回右侧轨道且能沿轨道运动而不脱离轨道，则有：
①若A沿轨道上滑至最大高度h时，速度减为0，则h满足： （1分）
根据机械能守恒：    联立可得， （1分）
②若A能沿轨道上滑至最高点，则满足： 且 （1分）
联立得  （1分）
综上所述，要使A物块能第一次返回圆形轨道并沿轨道运动而不脱离轨道，l满足的条件是
 或 （1分）
考点：匀变速直线运动的规律、动能定理及机械能守恒定律的综合应用。